Trong không gian xét hệ trục tọa độ Oxyz, gọi O là vị trí đặt trạm radar. Giả sử mặt phẳng (Oxy) là mặt đất phẳng, trục Ox chỉ hướng Đông, trục Oy chỉ hướng Bắc và trục Oz hướng thẳng đứng lê
Xét mệnh đề a)
Tên lửa tạo với hướng Đông: \[\cos 60^\circ = \frac{{{u_1}.1}}{{\sqrt {u_1^2 + u_2^2 + u_3^2} .\sqrt 1 }} = {u_1} = \cos 60^\circ \]
Tên lửa tạo với hướng Bắc: \[\cos 45^\circ = \frac{{{u_2}.1}}{{\sqrt {u_1^2 + u_2^2 + u_3^2} .\sqrt 1 }} = {u_2} = \cos 45^\circ \]
Tên lửa tạo với hướng thẳng đứng:\[\cos 60^\circ = \frac{{{u_3}.1}}{{\sqrt {u_1^2 + u_2^2 + u_3^2} .\sqrt 1 }} = {u_3} = \cos 60^\circ \]
Vậy \(\vec u = \left( {\cos 60^\circ ;\cos 45^\circ ;\cos 60^\circ } \right) = \left( {\frac{1}{2};\frac{{\sqrt 2 }}{2};\frac{1}{2}} \right)\)
Thành phần vận tốc hướng Đông: \({v_x} = v\left( t \right).{u_1} = v\left( t \right).\frac{1}{2}\)
Thành phần vận tốc hướng Bắc: \({v_y} = v\left( t \right).{u_2} = v\left( t \right).\frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
Tỉ số \(\frac{{{v_y}}}{{{v_x}}} = \frac{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}{{\frac{1}{2}}} = \sqrt 2 \)nên mệnh đề a) đúng
Xét mệnh đề b)
Hình chiếu của vectơ hướng \(\overrightarrow u \)lên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\)là \[\overrightarrow {u'} = \left( {\frac{1}{2};\frac{{\sqrt 2 }}{2};0} \right)\]
\(\cos \alpha = \frac{{\frac{1}{2}.1}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} .\sqrt 1 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow \tan \alpha = \sqrt 2 \)nên mệnh đề b) đúng
Xét mệnh đề c)
Ta có : \[S = 1500 = \int\limits_0^{10} {\left( {at + 50} \right){\rm{d}}t} = \left. {\frac{{a{t^2}}}{2} + 50t} \right|_0^{10} = \frac{{a{{.10}^2}}}{2} + 50.10 \Rightarrow a = 20\left( {m/{s^2}} \right)\]
Vậy \(v\left( t \right) = 20t + 50\)
Quãng đường trong giây thứ \(10\) là\(S = \int\limits_9^{10} {\left( {20t + 50} \right){\rm{d}}t} = 240\)(m) nên mệnh đề c) đúng
Xét mệnh đề d)
Quãng đường đi được từ lúc bắt đầu tới \(t = 5\)là: \(S = \int\limits_0^5 {\left( {20t + 50} \right){\rm{d}}t} = 500\)(m)
Độ cao tại thời điểm \(t = 5\)là: \[z\left( 5 \right) = {z_A} + s.{u_3} = 0 + 500.\frac{1}{2} = 250\](m) nên mệnh đề d) sai