Trong không gian xét hệ tọa độ Oxyz có một đơn vị dài trên các trục tương ứng với 10 mét trên thực tế. Một mục tiêu cần được bảo vệ có vị trí ở gốc tọa độ O. Người ta thiết lập một vành đai b

13/22

PHẦN II: Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Trong không gian xét hệ tọa độ \(Oxyz\) có một đơn vị dài trên các trục tương ứng với 10 mét trên thực tế. Một mục tiêu cần được bảo vệ có vị trí ở gốc tọa độ \(O\). Người ta thiết lập một vành đai bảo vệ quanh mục tiêu theo một đường tròn tâm \(O\) có bán kính bằng 6 đơn vị (tương ứng 60 mét trên thực tế) nằm trong mặt phẳng \((Oxy)\). Một máy bay không người lái (được coi như một hạt) bay theo một đường thẳng từ vị trí \(M(2;11;3)\) đến vị trí \(N(14;2;3)\). Tại mỗi vị trí của máy bay, khoảng cách từ máy bay đến vành đai bảo vệ là độ dài ngắn nhất của các đoạn thẳng nối từ vị trí đó đến một điểm bất kì trên vành đai.

\(\overrightarrow {MN} = (12; - 9;0)\).

ĐúngSai

Phương trình tham số của đường thẳng \(MN\) là \(\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 4t\\y = 11 - 3t\\z = 0\end{array} \right.}\end{array}\) với \(t \in \mathbb{R}\).

ĐúngSai

Trong quá trình bay từ \(M\) đến \(N\), khoảng cách ngắn nhất từ máy bay đến vành đai bảo vệ là 100 mét.

ĐúngSai

Trong quá trình bay từ \(M\) đến \(N\), khoảng cách từ máy bay đến vành đai bảo vệ là ngắn nhất khi máy bay ở vị trí có tọa độ là \((6;8;3)\).

ĐúngSai

Giải thích

Ta có: \(M(2;11;3)\), \(N(14;2;3)\).

a) \(\overrightarrow {MN} = (14 - 2;2 - 11;3 - 3) = (12; - 9;0)\).

Mệnh đề đúng.

a) Đúng.

b) Đường thẳng \(MN\) có thể viết: \(\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 12t\\y = 11 - 9t\\z = 3\end{array} \right.}\end{array}\)

hoặc rút gọn vectơ chỉ phương \((12; - 9;0) = 3(4; - 3;0)\): \(\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 4t\\y = 11 - 3t\\z = 3\end{array} \right.}\end{array}\)

Đề cho \(z = 0\), trong khi điểm \(M,N\) đều có \(z = 3\).

b) Sai.

c) Vành đai là đường tròn tâm \(O\), bán kính \(6\), nằm trong mặt phẳng \((Oxy)\).

Máy bay bay trên đoạn từ \(M\) đến \(N\): \(M(2;11;3)\) đến \(N(14;2;3)\).

Gọi điểm bất kì trên đoạn bay là: \(A(t) = (2 + 12t;11 - 9t;3)\), \(0 \le t \le 1\).

Khoảng cách từ hình chiếu của máy bay xuống mặt phẳng \((Oxy)\) đến \(O\) là: \(r(t) = \sqrt {{{(2 + 12t)}^2} + {{(11 - 9t)}^2}} \).

Tìm \(r(t)\) nhỏ nhất.

Xét: \({r^2}(t) = {(2 + 12t)^2} + {(11 - 9t)^2}\).

Đạo hàm hoặc khai triển sẽ được giá trị nhỏ nhất tại: \(t = \frac{1}{3}\).

Khi đó: \(x = 2 + 12 \cdot \frac{1}{3} = 6\),

\(y = 11 - 9 \cdot \frac{1}{3} = 8\),

\(z = 3\).

Ta có: \(r = \sqrt {{6^2} + {8^2}} = 10\).

Khoảng cách từ máy bay đến vành đai là: \(\sqrt {{{(10 - 6)}^2} + {3^2}} = \sqrt {16 + 9} = 5\) đơn vị.

Mỗi đơn vị ứng với \(10\) mét nên khoảng cách nhỏ nhất là: \(5 \cdot 10 = 50\) mét.

Đề nói \(100\) mét nên sai.

c) Sai.

d) Theo câu c), khoảng cách nhỏ nhất đạt được khi máy bay ở vị trí: \((6;8;3)\).

d) Đúng.