Trong không gian, xét hệ tọa độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí một giàn khoan trên biển
16/22
Trong không gian, xét hệ tọa độ \(Oxyz\) có gốc \(O\) trùng với vị trí một giàn khoan trên biển, mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) trùng với mặt biển (được coi là mặt phẳng) với tia \(Ox\) hướng về phía nam, tia \(Oy\) hướng về phía đông và tia \(Oz\) hướng thẳng đứng lên trời (tham khảo hình vẽ). Đơn vị đo trong không gian \(Oxyz\) lấy theo kilômét. Một chiếc radar đặt tại \(O\) có phạm vi theo dõi là 30 km. Một chiếc tàu thám hiểm tại vị trí \(A\) ở độ sâu 10 km so với mặt nước biển, cách \(O\;25\;{\rm{km}}\) về phía nam và 15 km về phía tây. Một tàu đánh cá tại vị trí \(B\left( { - 20;15;0} \right)\).
a) Khoảng cách từ chiếc tàu thám hiểm đến radar bằng 25 km.
b) Radar không phát hiện được tàu thám hiểm đặt tại vị trí \(A\).
c) Radar phát hiện ra tàu đánh cá tại vị trí \(B\).
d) Một chiếc tàu của cảnh sát biển đang tuần tra di chuyển đến vị trí cách \(O\)\(\;15\;{\rm{km}}\) về phía nam.
Để radar phát hiện ra thì tàu cảnh sát biển cần di chuyển về phía đông cách \(O\) tối đa \(15\sqrt 3 \;{\rm{km}}\).
a) Sai. Theo bài ra ta có, tàu thám hiểm ở vị trí \(A\left( {25; - 15; - 10} \right)\).
Khoảng cách từ tàu thám hiểm đến radar là \(OA = \sqrt {{{25}^2} + {{15}^2} + {{10}^2}} = 5\sqrt {38} \approx 30,8\;{\rm{km}}\).
b) Đúng. Radar đặt tại \(O\) có phạm vi theo dõi là 30 km, mà khoảng cách từ tàu thám hiểm đến radar là 30,8 \( > 30\) nên radar không phát hiện được tàu thám hiểm đặt tại vị trí \(A\).
c) Đúng. Khoảng cách từ tàu đánh cá đến radar là \(OB = \sqrt {{{20}^2} + {{15}^2}} = 25\;{\rm{km}} < 30\;{\rm{km}}\).
Vậy radar phát hiện ra tàu đánh cá tại vị trí \(B\).
d) Đúng. Giả sử chiếc tàu của cảnh sát biển ở vị trí \(C\left( {15\,;y\,;0} \right)\).
Khoảng cách từ tàu của cảnh sát biển đến radar là \(OC = \sqrt {{{15}^2} + {y^2}} \).
Để radar phát hiện ra thì tàu cảnh sát biển thì:
\(OC \le 30 \Leftrightarrow {15^2} + {y^2} \le {30^2} \Leftrightarrow - 15\sqrt 3 \le y \le 15\sqrt 3 \).
Vậy để radar phát hiện ra thì tàu cảnh sát biển cần di chuyển về phía đông cách \(O\) tối đa một khoảng \(15\sqrt 3 \;{\rm{km}}\).