Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, có hai trục Ox , Oy đặt trên mặt đất (coi mặt đất là một mặt phẳng); tia O z hướng lên phía trên; đơn vị trên các trục tính bằng mét.
40/55
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, có hai trục \(Ox,\;Oy\) đặt trên mặt đất (coi mặt đất là một mặt phẳng); tia \(Oz\) hướng lên phía trên; đơn vị trên các trục tính bằng mét. Một thiết bị phát sóng \(M\)đặt tại điểm \(A\left( {80;60;60} \right)\). Vùng phủ sóng của thiết bị \(M\) có bán kính \(500\) mét. Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua điểm \(B\left( {0; - 490;0} \right)\) và song song với trục \(Ox.\)
a) Một thiết bị thu sóng \(N\)(coi như một điểm) di chuyển trên trục \(Oy\)từ vị trí \(B\) theo hướng của vectơ \(\overrightarrow {BO} \). Thiết bị thu sóng \(N\)phải di chuyển một đoạn đường ngắn nhất bằng \[60,3\]mét thì vào được vùng phủ sóng của thiết bị \[M\].
b) Điểm \[B\] không thuộc vùng phủ sóng của thiết bị \[M\].
c) Một thiết bị thu sóng \(N\)(coi như một điểm) di chuyển trên đường thẳng \(d\) thì có thể vào được vùng phủ sóng của thiết bị \[M\].
d) Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là \[\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = - 490\\z = t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\].
a) Sai. Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài vùng phát sóng của thiết bị phát sóng \(M\) trong không gian là mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(A\left( {80;60;60} \right)\), bán kính \(500\) có phương trình\({\left( {x - 80} \right)^2} + {\left( {y - 60} \right)^2} + {\left( {z - 60} \right)^2} = {500^2}\).
Gọi \[E\left( {0;t;0} \right)\] là giao điểm của \(Oy\) và \(\left( S \right)\). Khi đó
\[{\left( { - 80} \right)^2} + {\left( {t - 60} \right)^2} + {60^2} = {500^2} \Leftrightarrow {\left( {t - 60} \right)^2} = 240000 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{t_1} = 60 + 200\sqrt 6 \\{t_2} = 60 - 200\sqrt 6 \end{array} \right.\].
Ta có:
\[{t_1} = 60 + 200\sqrt 6 \Rightarrow {E_1}\left( {0;60 + 200\sqrt 6 ;0} \right) \Rightarrow {E_1}B = 550 + 200\sqrt 6 > 60,3\].
\[{t_2} = 60 - 200\sqrt 6 \Rightarrow {E_2}\left( {0;60 - 200\sqrt 6 ;0} \right) \Rightarrow {E_2}B = 550 - 200\sqrt 6 \approx 60,1\].
Thiết bị thu sóng \(N\)phải di chuyển một đoạn đường ngắn nhất bằng \[60,1\]mét thì vào được vùng phủ sóng của thiết bị \[M\].
b) Đúng. Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 80\,;\,550\,;\, - 60} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( { - 80} \right)}^2} + {{550}^2} + {{\left( { - 60} \right)}^2}} > 500 = R\).
Vậy điểm \[B\] nằm ngoài mặt cầu \(\left( S \right)\) nên điểm \[B\] không thuộc vùng phủ sóng của thiết bị \[M\].
c) Sai. Đường thẳng \[d\] đi qua điểm \(B\left( {0; - 490;0} \right)\) và song song với trục \(Ox\) có VTCP \[\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)\] có PTTS là \[\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 490\\z = 0\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\].
Suy ra: \(\left[ {\overrightarrow i ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {0\,;\,60\,;\, - 550} \right)\).
Khoảng cách ngắn nhất từ \(A\left( {80;60;60} \right)\) đường thẳng \(d\) là:
\(d\left( {A;d} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow i ,\overrightarrow {AB} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow i } \right|}} = \frac{{\sqrt {{0^2} + {{60}^2} + {{\left( { - 550} \right)}^2}} }}{{\sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }} > 500 = R\).
Vì vậy thiết bị thu sóng \(N\)(coi như một điểm) di chuyển trên đường thẳng \(d\) thì không thể vào được vùng phủ sóng của thiết bị \[M\].
d) Sai. Đường thẳng \[d\] đi qua điểm \(B\left( {0; - 490;0} \right)\) và song song với trục \(Ox\) có VTCP \[\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)\] có PTTS là \[\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 490\\z = 0\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\].