Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình là

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \((S)\) có phương trình là \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 6z + 7 = 0\). Cho ba điểm A, M, B nằm trên mặt cầu \((S)\) sao cho góc AMB=90^o. Diện tích tam giác AMB có giá trị lớn nhất bằng (1) _____ 4 _____

Giải thích

Ta có: \((S):{(x - 1)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 3)^2} = 4 \Rightarrow (S)\) có tâm \(I(1;1;3)\) và bán kính \(R = 2\).

Theo bài ra ta có: A, M, B nằm trên mặt cầu \((S)\) và góc AMB=90^o  suy ra AB qua \(I \Rightarrow AB = 2R = 4\).

Ta có \({S_{AMB}} = \frac{1}{2}MA.MB \le \frac{{M{A^2} + M{B^2}}}{4} = \frac{{A{B^2}}}{4} = 4\).

Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow MA = MB = \frac{{AB}}{{\sqrt 2 }} = 2\sqrt 2 \) và \(AB = 4\).

Do đó diện tích tam giác AMB có giá trị lớn nhất bằng 4.