Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 sao cho D(0;0;0), A(2;0;0), C(0;2;0), D1(0;0;1) (tham khảo hình vẽ).

16/22

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hình hộp chữ nhật $ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$ sao cho $D\left( {0\,;0\,;0} \right)$, $A\left( {2\,;0\,;0} \right)$, $C\left( {0\,;2\,;0} \right)$, ${D_1}\left( {0\,;0\,;1} \right)$ (tham khảo hình vẽ). Gọi $M$ là điểm di động trên đoạn thẳng ${B_1}{D_1}$ (kể cả hai đầu mút). $a) Ta có: \(y = f\left( x \right) = 2{x^3} + (ảnh 1)$

Khi điểm $M$ là trung điểm của ${B_1}{D_1}$ thì $CM \bot \left( {B{B_1}{D_1}D} \right)$.

ĐúngSai

Khi điểm $M$ là trung điểm của ${B_1}{D_1}$ thì giá trị cosin của góc tạo bởi đường thẳng $M{C_1}$ và đường thẳng $BC$ là $\frac{{\sqrt 2 }}{3}$.

ĐúngSai

Khi điểm $M$ chuyển động trên đoạn thẳng ${B_1}{D_1}$ thì thể tích khối chóp tam giác ${C_1}.BDM$ là một hằng số.

ĐúngSai

Giá trị nhỏ nhất của khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $BC$ là $\frac{{\sqrt 6 }}{3}$.

ĐúngSai

Giải thích

Với hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có

$D\left( {0\,;0\,;0} \right)$, $A\left( {2\,;0\,;0} \right)$,$C\left( {0\,;2\,;0} \right)$,${D_1}\left( {0\,;0\,;1} \right)$,$B\left( {2\,;2\,;0} \right)$, ${A_1}\left( {2\,;0\,;1} \right)$, ${B_1}\left( {2\,;2\,;1} \right)$, ${C_1}\left( {0\,;2\,;1} \right)$.

a) Trung điểm của ${B_1}{D_1}$ là $M\left( {1\,;1\,;1} \right).$

Ta có: $\overrightarrow {CM} = \left( {1\,; - 1\,;1} \right)$

Cặp véc tơ chỉ phương của mặt phẳng $\left( {B{B_1}{D_1}D} \right)$

$\begin{array}{l}\overrightarrow {D{D_1}} = \left( {0\,;0\,;1} \right)\\\overrightarrow {DB} = \left( {2\,;2\,;0} \right)\end{array}$

$\overrightarrow {CM} \cdot \overrightarrow {D{D_1}} = 1 \ne 0.$

Do đó $\overrightarrow {CM} $ không vuông góc với mọi vectơ nằm trong mặt phẳng $\left( {B{B_1}{D_1}D} \right)$.

Vậy a) Sai.

b) $M\left( {1\,;1\,;1} \right)$

$\overrightarrow {M{C_1}} = \left( { - 1\,;1\,;0} \right)$

$\overrightarrow {BC} = \left( { - 2\,;0\,;0} \right)$

Cosin góc giữa hai đường thẳng:$\cos \left( {M{C_1};BC} \right) = \frac{{|\overrightarrow {M{C_1}} \cdot \overrightarrow {BC} |}}{{|\overrightarrow {M{C_1}} ||\overrightarrow {BC} |}} = \frac{2}{{\sqrt 2 .2}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$.

Vậy b) Sai.

c) ${V_{{C_1}.BDM}} = \frac{1}{3}.{S_{\Delta BDM}}.d\left( {{C_1};\left( {BDM} \right)} \right)$.

${S_{\Delta BDM}}$ và $d\left( {{C_1};\left( {BDM} \right)} \right)$ không đổi.

Suy ra thể tích khối chóp ${C_1}.BDM$ không đổi.

Vậy c) Đúng.

d) Vectơ chỉ phương của đường thẳng $BC$: ${\vec u_{BC}} = \left( {1\,;0\,;0} \right).$

Phương trình tham số của $BC$: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + k}\\{y = 2}\\{z = 0}\end{array}} \right.$.

Dạng tọa độ điểm $M\left( {2t\,;2t\,;1} \right)$ với $0 \le t \le 1.$

Khoảng cách từ một điểm $M$ đến đường thẳng $BC$: $d\left( {M,BC} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {BM} ,{{\vec u}_{BC}}} \right]} \right|}}{{\left| {{{\vec u}_{BC}}} \right|}}$.

$\overrightarrow {BM} = \left( {2t - 2\,;2t - 2\,;1 - 0} \right) = \left( {2t - 2\,;2t - 2\,;1} \right)$.

$\left[ {\overrightarrow {BM} ,{{\vec u}_{BC}}} \right] = \left( {0\,;1\,;2 - 2t} \right)$.

$\left| {\left[ {\overrightarrow {BM} ,{{\vec u}_{BC}}} \right]} \right| = \sqrt {{0^2} + {1^2} + {{(2 - 2t)}^2}} = \sqrt {1 + {{(2 - 2t)}^2}} $.

$\left| {{{\vec u}_{BC}}} \right| = 1$.

Suy ra $d\left( {M,BC} \right) = \sqrt {1 + {{\left( {2 - 2t} \right)}^2}} $.

$d\left( {M,BC} \right)$ nhỏ nhất khi $2 - 2t = 0 \Leftrightarrow t = 1$.

Khi đó $M$ trùng với điểm ${B_1}\left( {2\,;2\,;1} \right)$.

Vậy giá trị nhỏ nhất bằng $1$.

Vậy d) Sai.