Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho hai đường thẳng có phương trình

8/22

\(\,{d_1}:\,\,\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 2}}{{ - 1}}\) và \(\,{d_2}:\,\,\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{1}\)

Khi đó \({\rm{cosin}}\)góc giữa hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) là

\(\frac{1}{3}.\)

\(\frac{1}{2}.\)

\(\frac{1}{{\sqrt 3 }}.\)

\(\frac{1}{{\sqrt 2 }}.\)

Giải thích

Đường thẳng \(\,{d_1}:\,\,\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 2}}{{ - 1}}\)có véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1;1; - 1} \right)\),

Đường thẳng \(\,{d_2}:\,\,\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{1}\)có véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow u ' = \left( {1; - 1;1} \right)\).

Gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng \({d_1}\) và đường thẳng \({d_2}\), khi đó

\(\cos \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow {u'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}} = \frac{{\left| {1.1 + 1.\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{3}.\)