Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A ( 0 ; − 1 ; 1 ) , B ( − 2 ; 1 ; − 1 ) , C ( − 1 ; 3 ; 2 ) , D ( − 1 ; 0 ; 0 ) . a) Ba điểm A , B , C không thẳng hàng.

a) Đúng.

\[\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2;\,2;\, - 2} \right),\,\overrightarrow {BC}  = \left( {1;\,2;\,3} \right)\]

Vì \[\frac{{ - 2}}{1} \ne \frac{2}{2} \ne \frac{{ - 2}}{3}\] nên \[\overrightarrow {AB}  \ne k\,\overrightarrow {BC} \]. Suy ra ba điểm \(A,\,B,\,C\)  không thẳng hàng.

b) Đúng.

\[\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2;\,2;\, - 2} \right),\,\overrightarrow {BD}  = \left( {1;\, - 1;\,1} \right)\]

Vì \[\frac{{ - 2}}{1} = \frac{2}{{ - 1}} = \frac{{ - 2}}{1} =  - 2\] nên \[\overrightarrow {AB}  =  - 2\,\overrightarrow {BD} \].

Suy ra điểm \(A,\,B,\,D\)  thẳng hàng.

c) Sai.

\[\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2;\,2;\, - 2} \right)\].

\[\overrightarrow {CB}  = \left( { - 1;\, - 2;\, - 3} \right)\].

Ta có: \[\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CB} }}{{AB.CB}}\]\[ = \frac{{\left( { - 2} \right).\left( { - 1} \right) + 2.\left( { - 2} \right) + \left( { - 2} \right).\left( { - 3} \right)}}{{\sqrt {12} .\sqrt {14} }} = \frac{{\sqrt {42} }}{{21}}\].

d) Sai.

Ta có \[\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2;\,2;\, - 2} \right)\], \[\overrightarrow {AC}  = \left( { - 1;\,4;\,1} \right)\], \[\overrightarrow {AD}  = \left( { - 1;\,1; - \,1} \right)\]

\[\left[ {\overrightarrow {AB} \,;\,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {10;\,4;\, - 6} \right)\]

Ta có \[\left[ {\overrightarrow {AB} \,;\,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD}  = \,10.\left( { - 1} \right) + 4.1 + \left( { - 6} \right)\left( { - 1} \right) = 0\] nên ba vectơ \[\overrightarrow {AB} \,;\,\overrightarrow {AC} ;\,\overrightarrow {AD} \]  đồng phẳng

Nên bốn điểm \(A;\,B;\,C;\,D\) đồng phẳng.