Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(1;2;3), B(3;4;4). Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng 2x + y + mz - 1 = 0 bằng độ dài đoạn thẳng A

Đáp án: m = 2

Phương pháp giải:  Công thức tính khoảng cách từ điểm \(M({x_0};{y_0};{z_0})\)đến mặt phẳng \((\alpha ):ax + by + cz + d = 0\)là\(d(M;(\alpha )) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)

Giải chi tiết:

Đặt \((\alpha ):2x + y + mz - 1 = 0\)

Ta có: \(d(A;(\alpha )) = \frac{{\left| {2.1 + 2 + 3.m - 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {m^2}} }} = \frac{{\left| {3 + 3m} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 5} }}\)

 \(d(A;(\alpha )) = \)\(AB\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {3 + 3m} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 5} }} = 3\)

⇔|m+1|=m2+5⇔m2+2m+1=m2+5⇔m=2