Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A ( 1 ; − 1 ; 2 ) , B ( − 2 ; 0 ; 3 ) , C ( 0 ; 1 ; − 2 ) . Các mệnh đề sau đúng hay sai?

13/22

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho \(A\left( {1; - 1;2} \right)\), \(B\left( { - 2;0;3} \right)\), \(C\left( {0;1; - 2} \right)\). Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Tọa độ trọng tâm tam giác \(ABC\) là \(G\left( {\frac{{ - 1}}{3};0;1} \right)\).

b) Độ dài đoạn thẳng \(AB = \sqrt {11} \).

c) Tích có hướng \([\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} ] = \left( { - 6;13; - 5} \right)\).

d) \(M\left( {a;b;c} \right)\)là điểm thuộc mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\] sao cho biểu thức \[S = 2.\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MA} \] đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó biểu thức \[T = a - b + c = \frac{1}{4}\].

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

a) Tọa độ trọng tâm tam giác \(ABC\) là \(G\left( {x;y;z} \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{1 - 2 + 0}}{3} = - \frac{1}{3}\\y = \frac{{ - 1 + 0 + 1}}{3} = 0\\z = \frac{{2 + 3 - 2}}{3} = 1\end{array} \right.\).

Nên \(G\left( {\frac{{ - 1}}{3};0;1} \right)\)

Khẳng định a.đúng.

b) \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;1;1} \right)\)\( \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {1^2} + {1^2}} = \sqrt {11} \)

Khẳng định b. đúng.

c) \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;1;1} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 1;2; - 4} \right)\).

Nên \(\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\2&{ - 4}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 3}\\{ - 4}&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&1\\{ - 1}&2\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 6; - 13; - 5} \right)\).

Khẳng định c sai.

d) Vì \(M\left( {a;b;c} \right) \in \left( {Oxy} \right) \Rightarrow c = 0.\)

Ta có: \[\overrightarrow {MA} = \left( {1 - a; - 1 - b;2} \right)\]; \[\overrightarrow {MB} = \left( { - 2 - a; - b;3} \right)\]; \[\overrightarrow {MC} = \left( { - a;1 - b; - 2} \right)\].

\[\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = \left( {1 - a} \right).\left( { - 2 - a} \right) + \left( { - 1 - b} \right).\left( { - b} \right) + 2.3\]\[ = {a^2} + {b^2} + a + b + 4\]\[\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} = \left( { - 2 - a} \right).\left( { - a} \right) + \left( { - b} \right).\left( {1 - b} \right) + 3.\left( { - 2} \right)\]\[ = {a^2} + {b^2} + 2a - b - 6\]\[\overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MA} = \left( { - a} \right).\left( {1 - a} \right) + \left( {1 - b} \right).\left( { - 1 - b} \right) + \left( { - 2} \right).2\]\[ = {a^2} + {b^2} - a - 5\]\[S = 2.\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MA} \]

\[ = 4{a^2} + 4{b^2} + 3a + b - 3\] \[ = 4\left( {{a^2} + \frac{3}{4}a} \right) + 4\left( {{b^2} + \frac{1}{4}b} \right) - 3\]

\[ = 4{\left( {a + \frac{3}{8}} \right)^2} + 4{\left( {b + \frac{1}{8}} \right)^2} - \frac{{29}}{8} \ge - \frac{{29}}{8}\].

\[ \Rightarrow {S_{\min }} = - \frac{{29}}{8} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + \frac{3}{8} = 0\\b + \frac{1}{8} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{3}{8}\\b = - \frac{1}{8}\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow T = a - b + c = - \frac{1}{4}\].

Khẳng định d sai.