Trong không gian với hệ trục tọa độ O x y z , cho mặt cầu ( S ) : x^2 + y^2 + z^2 − 4 x − 2 y + 2 z − 3 = 0 và một điểm M ( 4 ; 2 ; − 2 ) . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

6/20

II. Thông hiểu

Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz\], cho mặt cầu \[\left( S \right):\] \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 2y + 2z - 3 = 0\] và một điểm \[M\left( {4;2; - 2} \right)\]. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Điểm M là tâm của mặt cầu (S).

Điểm M nằm trên mặt cầu (S).

Điểm M nằm trong mặt cầu (S).

Điểm M nằm ngoài mặt cầu (S).

Giải thích

Đáp án đúng là: C

Ta có: \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 2y + 2z - 3 = 0\]

\[{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9\].

Do đó, tâm của mặt cầu là \[I\left( {2;1; - 1} \right)\].

Thay \[M\left( {4;2; - 2} \right)\] vào phương trình mặt cầu, ta được

\[{\left( {4 - 2} \right)^2} + {\left( {2 - 1} \right)^2} + {\left( { - 2 + 1} \right)^2} = 6 < 9\].

Do đó điểm M nằm trong mặt cầu.