Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho tam giác ABC

28/38

Trong không gian với hệ trục \[Oxyz\], cho tam giác \(ABC\) với \[A\left( {8;9;2} \right)\], \[B\left( {3;5;1} \right),\]\[C\left( {11;10;4} \right).\] Số đo góc \(\widehat {BAC}\) của tam giác \(ABC\) đó là:

\(150^\circ \).

\(60^\circ \).

\(120^\circ \).

\(30^\circ \).

Giải thích

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 5; - 4; - 1} \right)\) \( \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = \sqrt {42} .\)

\(\overrightarrow {AC} = \left( {3;1;2} \right)\) \( \Rightarrow AC = \sqrt {{3^2} + {1^2} + {2^2}} = \sqrt {14} \).

Ta có: \(\cos \widehat {BAC} = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{ - 5.3 + \left( { - 4} \right).1 + \left( { - 1} \right).2}}{{\sqrt {42} .\sqrt {14} }} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Suy ra \(\widehat {BAC} = 150^\circ \).