Trong không gian với hệ trục O x y z , cho hình hộp chữ nhật A B C D . A ′ B ′ C ′ D ′ có điểm A trùng với gốc tọa độ O , điểm B nằm trên tia O x , điểm D nằm trên tia O y , điểm

17/20

Trong không gian với hệ trục \(Oxyz\), cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có điểm \(A\) trùng với gốc tọa độ \(O\), điểm \(B\) nằm trên tia \(Ox\), điểm \(D\) nằm trên tia \(Oy\), điểm \(A'\) nằm trên tia \(Oz\). Biết \(AB = 2,AD = 4,AA' = 3\). Gọi tọa độ \(C'\) là \(\left( {a;b;c} \right)\) khi đó biểu thức \(a + b - c\) có giá trị là

\( - 4.\)

\(9.\)

\(3.\)

\(6.\)

Giải thích

Đáp án đúng là: C

Theo đề bài, có điểm \(A\) trùng với gốc tọa độ \(O\) nên \(A\left( {0;0;0} \right)\);

điểm \(B\) nằm trên tia \(Ox\) nên \(B\left( {x;0;0} \right)\);

điểm \(D\) nằm trên tia \(Oy\) nên \(D\left( {0;y;0} \right)\);

điểm \(A'\) nằm trên tia \(Oz\) nên \(A'\left( {0;0;z} \right)\).

Theo đề, có \(AB = 2,AD = 4,AA' = 3\) hay \(B\left( {2;0;0} \right),D\left( {0;4;0} \right),A'\left( {0;0;3} \right).\)

Ta có \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp chữ nhật nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \).

Gọi \(C\left( {{x_C};{y_C};{z_C}} \right)\), ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_C} - 0 = 2\\{y_C} - 4 = 0\\{z_C} - 0 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 2\\{y_C} = 4\\{z_C} = 0\end{array} \right.\) ⇒ \(C\left( {2;4;0} \right)\).

Lại có, \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {CC'} \), ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}a - 2 = 0\\b - 4 = 0\\c - 0 = 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 4\\c = 3\end{array} \right.\).

Vậy \(a + b - c = 2 + 4 - 3 = 3\).