Trong không gian với hệ tọa độ ${\rm{Oxyz,}}$ cho đường thẳng và mặt cầu $\left( S \right)$ tâm I có phương trình

27/150

Trong không gian với hệ tọa độ ${\rm{Oxyz,}}$ cho đường thẳng ${\rm{d}}:\frac{{{\rm{x}} - 1}}{{ - 1}} = \frac{{\rm{y}}}{2} = \frac{{{\rm{z}} + 3}}{{ - 1}}$ và mặt cầu $\left( S \right)$ tâm I có phương trình $\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 18$. Đường thẳng ${\rm{d}}$ cắt $\left( S \right)$ tại hai điểm \[A\,,\,\,B.\] Diện tích tam giác \[IAB\] bằng

$\frac{{8\sqrt {11} }}{3}$.

$\frac{{16\sqrt {11} }}{3}$.

$\frac{{\sqrt {11} }}{6}$.

$\frac{{8\sqrt {11} }}{9}$.

Giải thích

$Trong không gian với hệ tọa độ ${\rm{Oxyz,}}$ cho đường thẳng và mặt cầu $\left( S \right)$ tâm I có phương trình (ảnh 1)$

Đường thẳng ${\rm{d}}$ đi qua điểm $C\left( {1\,;\,\,0\,;\,\, - 3} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {\rm{u}} = \left( { - 1\,;\,\,2\,;\,\, - 1} \right).$

Mặt cầu $\left( {\rm{S}} \right)$ có tâm ${\rm{I}}\left( {1\,;\,\,2\,;\,\, - 1} \right)$, bán kính ${\rm{R}} = 3\sqrt 2 $.

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của \[I\] lên đường thẳng ${\rm{d}}$.

Khi đó,\[{\rm{IH}} = \frac{{\left[ {\overrightarrow {{\rm{IC}}} \,,\,\overrightarrow {\rm{u}} } \right]}}{{|\overrightarrow {\rm{u}} |}}\], với $\overrightarrow {{\rm{IC}}} = \left( {0\,;\,\, - 2\,;\,\, - 2} \right);\,\,2{\rm{x}} + {\rm{y}} - 3{\rm{z}} - 4 = 0$

${\rm{IH}} = \frac{{\sqrt {{6^2} + {2^2} + {2^2}} }}{{\sqrt {1 + 4 + 1} }} = \frac{{\sqrt {66} }}{3}$, suy ra ${\rm{HB}} = \sqrt {18 - \frac{{22}}{3}} = \frac{{4\sqrt 6 }}{3}.$

Vậy ${S_{IAB}} = \frac{1}{2}{\mathop{\rm IH}\nolimits} \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot \frac{{\sqrt {66} }}{3} \cdot \frac{{8\sqrt 6 }}{3} = \frac{{8\sqrt {11} }}{3}.$ Chọn A.

Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 24)

Trong không gian với hệ tọa độ \({\rm{Oxyz,}}\) cho đường thẳng và mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm I có phương trình