Trong không gian với hệ tọa độ Oyz cho các điểm . Mặt phẳng đi qua A

19/22

Trong không gian với hệ tọa độ Oyz, cho các điểm $A (0; 1; 2)$ , $B (2; - 2; 0), C (- 2; 0; 1)$ . Mặt phẳng (P) đi qua A, trực tâm H của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC) có phương trình là

$4 x - 2 y - z + 4 = 0$

$4 x - 2 y + z + 4 = 0$ .

$4 x + 2 y + z - 4 + 0$ .

$4 x + 2 y - z + 4 = 0$ .

Giải thích

Chọn A

Ta có $\underset{A B}{\to} = (2; - 3; - 2)$ , $\underset{A C}{\to} = (- 2; - 1; - 1)$ nên $[\vec{A B}, \vec{A C}] = (1; 6; - 8)$ .

Phương trình mặt phẳng (ABC) là: $x + 6 y - 8 z + 10 = 0$ .

Phương trình mặt phẳng qua B và vuông góc với AC là: $2 x + y + z - 2 = 0$ .

Phương trình mặt phẳng qua C và vuông góc với AB là: $2 x - 3 y - 2 z + 6 = 0$ .

Giao điểm của ba mặt phẳng trên là trực tâm H của tam giác ABC nên $H (\frac{- 22}{101}, \frac{70}{101}, \frac{176}{101})$ .

Mặt phẳng (P) đi qua A,H nên $\vec{n_{p}} ⊥ \vec{A H} = ((\frac{- 22}{101}, \frac{- 31}{101}, \frac{- 26}{101}) = \frac{- 1}{101} (22; 31; 26)$ .

Mặt phẳng $(P) ⊥ (A B C)$ nên $\vec{n_{p}} ⊥ n_{(A B C)} = (1; 6; - 8)$ .

Vậy $[\begin{matrix} n_{(A B C)}; & u_{A H} \end{matrix}] = (404; - 202; - 101)$ là một vectơ pháp tuyến của (P).

Chọn ${\vec{n}}_{P} = (4; - 2; - 1)$ nên phương trình mặt phẳng (P) là $4 x - 2 y - z + 4 = 0$ .