Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, một carbin cáp treo xuất phát từ điểm A(10; 3; 0) và chuyển động đều theo đường cáp có vectơ chỉ phương là vecto u =(2; - 2;1) với vận tốc là 6 m/s (đơn
19/25
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, một carbin cáp treo xuất phát từ điểm A(10; 3; 0) và chuyển động đều theo đường cáp có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {2; - 2;1} \right)\) với vận tốc là 6 m/s (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là mét).
Khi đó:
Phương trình tham số của đường cáp là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 10 + 2t}\\{y = 3 - 2t}\\{z = t}\end{array}} \right.\).
Giả sử sau thời gian t giây kể từ lúc xuất phát (t ≥ 0), carbin đến điểm M. Khi đó toạ độ điểm M là \(\left( {3t + 10; - 3t + 3;\frac{{3t}}{2}} \right)\).
Carbin dừng ở điểm B có hoành độ xB = 600. Khi đó AB = 800 m.
Thời gian để carbin di chuyển từ vị trí xuất phát đến điểm dừng B là 100 giây.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng. Phương trình tham số của đường cáp là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 10 + 2t}\\{y = 3 - 2t}\\{z = t}\end{array}} \right.\).
b) Sai. Do tốc độ chuyển động của carbin là 6 m/s nên độ dài AM bằng 6t (m).
Vì vậy \(\left| {\overrightarrow {AM} } \right| = 6t\left( {t \ge 0} \right)\).
Do hai vectơ \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow u \) cùng phương và cùng hướng nên \(\overrightarrow {AM} = k\overrightarrow u \) với k là số thực dương nào đó. Suy ra: \(\left| {\overrightarrow {AM} } \right| = k\left| {\overrightarrow u } \right| = k \cdot \sqrt {2{}^2 + {{\left( { - 2} \right)}^2} + 1} = 3k\). Do đó 3k = 6t nên k = 2t.
Vì vậy, ta có \(\overrightarrow {AM} = 2t \cdot \overrightarrow u = \left( {4t; - 4t;2t} \right)\).
Gọi toạ độ của điểm M là (xM; yM; zM).
Do \(\overrightarrow {AM} = \left( {4t; - 4t;2t} \right)\)
Nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_M} = 4t + 10}\\{{y_M} = - 4t + 3}\\{{z_M} = 2t}\end{array}} \right.\).
c) Sai. Do xB = 610 nên 4t + 10 = 610 hay t = 150. Do đó, ta có điểm B(610; −597; 300).
Vậy \(AB = \sqrt {{{\left( {610 - 10} \right)}^2} + {{\left( { - 597 - 3} \right)}^2} + {{\left( {300 - 0} \right)}^2}} = \)900m
d) Sai. Thời gian để cabin di chuyển từ vị trí xuất phát đến điểm dừng B là 150 giây.