Trong không gian vối hệ toạ độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là mét), một ngọn hải đăng (Hình vẽ) được đặt ở vị trí I(21; 35; 50)
20/23
Trong không gian vối hệ toạ độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là mét), một ngọn hải đăng (Hình vẽ) được đặt ở vị trí \(I(21;35;50)\).
a) Sử dụng phương trình mặt cầu để mô tả ranh giởi của vùng phủ sáng trên biển của hải đăng, biết rằng ngọn hải đăng đó được thiết kế vởi bán kính phủ sáng là 4 km .
b) Nếu người đi biển ở vị trí \(C(42;37;0)\) thì có thể nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng
c) Nếu người đi biển ở vị trí \(D(5121;658;0)\) thì có thể nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng hay không?
d) Giả sử người đi biển di chuyển theo đường thẳng từ vị trí \(I(21;35;50)\) đến vị trí \(D(5121;658;0)\). Tìm vị trí cuối cùng trên đoạn thẳng ID sao cho người đi biển còn có thể nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng.
a) Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sáng trên biển của hải đăng là:
\({(x - 21)^2} + {(y - 35)^2} + {(z - 50)^2} = {4000^2}.\)
b) Ta có: \(IC = \sqrt {{{(42 - 21)}^2} + {{(37 - 35)}^2} + {{(0 - 50)}^2}} \)
\( = \sqrt {2945} < 4000.{\rm{ }}\)
Vì \(IC < R\) nên điểm \(C\) nằm trong mặt cầu. Vậy người đi biển ở điểm \(C(42;37;0)\) thì có thể nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng.
c) \({\rm{ Ta có : }}ID = \sqrt {{{(5121 - 21)}^2} + {{(658 - 35)}^2} + {{(0 - 50)}^2}} \)\( = \sqrt {26400629} > 4000.\)
Vì \(ID > R\) nên điểm \(D\) nằm ngoài mặt cầu. Vậy người đi biển ở điểm \(D(5121;658;0)\) không thể nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng.
d)
Đường thắng ID đi qua điếm I và nhận \(\overrightarrow {ID} = (5100;623; - 50)\) làm vectơ chỉ phương.
Phương trình tham số của đường thắng ID là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 21 + 5100t}\\{y = 35 + 623t}\\{z = 50 - 50t}\end{array}} \right.\) (t là tham số).
Giả sử H là vị trí cuối cùng trên đoạn thắng ID sao cho người đi biến có thế nhìn thấy ánh sáng từ ngọn hái đăng. Khi đó \({\rm{IH}} = {\rm{R}}\).
Ta có \({\rm{H}} \in {\rm{ID}}\) nên gọi tọa độ điếm \({\rm{H}}(21 + 5100{\rm{t}};35 + 623{\rm{t}};50 - 50{\rm{t}})\).
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {IH} = (5100t;623t; - 50t)\\IH = R \Leftrightarrow \sqrt {{{(5100t)}^2} + {{(623t)}^2} + {{( - 50t)}^2}} = 4000 \Leftrightarrow \sqrt {26400629{t^2}} = 4000 \Leftrightarrow t \approx \pm 0,78.\end{array}\)
+ Với \( \approx \approx 0,78\), ta có \({\rm{H}}(3999;520,94;11),\overrightarrow {IH} = (3978;485,94; - 39)\).
Khi đó \(\overrightarrow {ID} = \frac{{50}}{{39}}\overrightarrow {IH} \) nên hai vectơ \(\overrightarrow {ID} ,\overrightarrow {IH} \) cùng hướng, vậy thóa mãn H thuộc đoạn thắng ID .
+ Với \({\rm{t}} \approx - 0,78\), ta có \({\rm{H}}( - 3957; - 450,94;89),\overrightarrow {IH} = ( - 3978; - 485,94;39)\).
Khi đó \(\overrightarrow {ID} = - \frac{{50}}{{39}}\overrightarrow {IH} \) nên hai vectơ \(\overrightarrow {ID} ,\overrightarrow {IH} \) ngược hướng, vậy H không thuộc đoạn thắng ID .
Vậy vị trí cuối cù̀ng trên đoạn thẳng ID sao cho người đi biến còn có thế nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng là điếm \({\rm{H}}(3999;520,94;11)\).