Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có tọa độ đỉnh

36/235

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho tứ diện \(ABCD\) có tọa độ đỉnh \(A\left( {2;{\rm{ }}0;{\rm{ }}0} \right)\), \(B\left( {0;{\rm{ 4}};{\rm{ }}0} \right)\), \(C\left( {0;{\rm{ }}0;{\rm{ 6}}} \right)\), \(D\left( {2;{\rm{ 4}};{\rm{ 6}}} \right)\). Gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\). Phương trình mặt cầu \(\left( {S'} \right)\) có tâm trùng với tâm của mặt cầu \(\left( S \right)\) và có bán kính gấp \(2\) lần bán kính của mặt cầu \(\left( S \right)\) là:

\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 56\).

\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z = 0\).

\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 14\).

\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 6z - 12 = 0\).

Giải thích

Gọi phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có dạng:\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\).

Vì \(\left( S \right)\) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\) nên ta có:

\[\left\{ \begin{array}{l}{2^2} + {0^2} + {0^2} - 2 \cdot a \cdot 2 - 2 \cdot b \cdot 0 - 2 \cdot c \cdot 0 + d = 0\\{0^2} + {4^2} + {0^2} - 2 \cdot a \cdot 0 - 2 \cdot b \cdot 4 - 2 \cdot c \cdot 0 + d = 0\\{0^2} + {0^2} + {6^2} - 2 \cdot a \cdot 0 - 2 \cdot b \cdot 0 - 2 \cdot c \cdot 6 + d = 0\\{2^2} + {4^2} + {6^2} - 2 \cdot a \cdot 2 - 2 \cdot b \cdot 4 - 2 \cdot c \cdot 6 + d = 0\end{array} \right.\]\( \Leftrightarrow \)\[\left\{ \begin{array}{l} - 4a + d = - 4\\ - 8b + d = - 16\\ - 12c + d = - 36\\ - 4a - 8b - 12c + d = - 56\end{array} \right.\]\( \Leftrightarrow \)\[\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\\c = 3\\d = 0\end{array} \right.\].

\( \Rightarrow \)\(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z = 0\)\( \Rightarrow \)\(I\left( {1;{\rm{ }}2;{\rm{ }}3} \right)\)và \(R = \sqrt {14} \)\( \Rightarrow \)\(R' = 2\sqrt {14} \).

Vậy mặt cầu \(\left( {S'} \right)\) có tâm \(I\left( {1;{\rm{ }}2;{\rm{ }}3} \right)\) và \(R' = 2\sqrt {14} \) có phương trình là:

\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 56\). Chọn A.