Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(4;0;2), B(2;2;3) và C(5;2;0). Xét tính đúng sai của các mệnh

a) ĐÚNG: Ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CB} \).

b) SAI: Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành khi và chỉ khi:

\(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \left( {{x_D} - 4;{y_D} - 0;{z_D} - 2} \right) = \left( {3;0; - 3} \right)\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_D} - 4 = 3 \Rightarrow {x_D} = 7}\\{{y_D} - 0 = 0 \Rightarrow {y_D} = 0}\\{{z_D} - 2 = - 3 \Rightarrow {z_D} = - 1}\end{array}} \right.\).

Tung độ của \(D\) phải bằng \(0\), mệnh đề ghi bằng 4 là sai.

c) ĐÚNG: Ba điểm \(A,B,K\) thẳng hàng khi hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AK} \) cùng phương.

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;2;1} \right)\) và \(\overrightarrow {AK} = \left( { - 2 - 4;y - 0;z - 2} \right) = \left( { - 6;y;z - 2} \right)\).

Để hai vectơ cùng phương:

\(\frac{{ - 6}}{{ - 2}} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 2}}{1} \Rightarrow 3 = \frac{y}{2} \Rightarrow y = 6\)

\(3 = \frac{{z - 2}}{1} \Rightarrow z - 2 = 3 \Rightarrow z = 5\)

Khi đó, \(y - z = 6 - 5 = 1\).

d) ĐÚNG: Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;2;1} \right)\), \(\overrightarrow {AC} = \left( {1;2; - 2} \right)\). Do đó \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \left( { - 2} \right) \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 1 \cdot \left( { - 2} \right) = 0\).

Suy ra \(AB \bot AC\), tức là tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), vậy \(I\) là trung điểm của \(BC\).

Do đó \(I\left( {\frac{7}{2};2;\frac{3}{2}} \right)\), tức là \(a = \frac{7}{2},b = 2,c = \frac{3}{2}\).

Tính tổng \(a + b + c = \frac{7}{2} + 2 + \frac{3}{2} = 7\).