Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\) với \(A\left( {1;0; - 2} \right)\), \(B\left( { - 2;3;4} \right)\) và \(C\left( {4; - 6;1} \right)\).

a) SAI. Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A}} \right) = \left( { - 2 - 1;3 - 0;4 - \left( { - 2} \right)} \right) = \left( { - 3;3;6} \right)\).

b) SAI. Hình chiếu vuông góc của điểm \(B\left( { - 2;3;4} \right)\) lên trục hoành \(Ox\) chỉ giữ lại hoành độ, các thành phần khác bằng \(0\): \(B'\left( { - 2;0;0} \right)\).

c) ĐÚNG. Xét \(\widehat {BAC}\) thông qua tích vô hướng giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \):

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;3;6} \right)\); \(\overrightarrow {AC} = \left( {4 - 1; - 6 - 0;1 - \left( { - 2} \right)} \right) = \left( {3; - 6;3} \right)\).

Tích vô hướng: \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \left( { - 3} \right) \cdot 3 + 3 \cdot \left( { - 6} \right) + 6 \cdot 3 = - 9 - 18 + 18 = - 9 < 0\).

Vì \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} < 0 \Rightarrow \cos \widehat {BAC} < 0 \Rightarrow \widehat {BAC} > 90^\circ \).

d) ĐÚNG. Tìm tọa độ trọng tâm \(M\) của tam giác \(ABC\):

\({x_M} = \frac{{1 - 2 + 4}}{3} = 1\)

\({y_M} = \frac{{0 + 3 - 6}}{3} = - 1\)

\({z_M} = \frac{{ - 2 + 4 + 1}}{3} = 1\)

Tọa độ \(M\left( {1; - 1;1} \right)\). Độ dài đoạn thẳng \(OM\): \(OM = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} = \sqrt 3 \).