Trong không gian với hệ tọa độ oxyz cho tam giác ABC có A(1;2;-1), B(2;-1;3), C(-4;7;5)

2/150

Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz,\] cho tam giác \[ABC\] có \(A\left( {1\,;\,\,2\,;\,\, - 1} \right),\,\,B\left( {2\,;\,\, - 1\,;\,\,3} \right),\)\(C\left( { - 4\,;\,\,7\,;\,\,5} \right).\) Gọi \(D\left( {a\,;\,\,b\,;\,\,c} \right)\) là chân đường phân giác trong góc \[B\] của tam giác \[ABC.\] Giá trị của \(a + b + 2c\) bằng

Giải thích

Ta có \(AB = \sqrt {26} \,,\,\,BC = \sqrt {104} = 2\sqrt {26} .\)

Gọi \[D\left( {x\,;\,\,y\,;\,\,z} \right)\], theo tính chất phân giác ta có \(\frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{BA}}{{BC}} = \frac{1}{2}.\)

Suy ra \(\overrightarrow {DA} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {DC} & (*).\)

Ta có \(\overrightarrow {DA} = \left( {1 - x\,;\,\,2 - y\,;\,\, - 1 - z} \right)\) và \(\overrightarrow {DC} = \left( { - 4 - x\,;\,\,7 - y\,;\,\,5 - z} \right).\)

Do đó \((*) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 - x = - \frac{1}{2}\left( { - 4 - x} \right)}\\{2 - y = - \frac{1}{2}\left( {7 - y} \right)}\\{ - 1 - z = - \frac{1}{2}\left( {5 - z} \right)}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - \frac{2}{3}}\\{y = \frac{{11}}{3}}\\{z = 1}\end{array} \Rightarrow D\left( { - \frac{2}{3}\,;\,\,\frac{{11}}{3}\,;\,\,1} \right) \Rightarrow a + b + 2c = 5} \right.} \right..\)

Chọn A.