Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác A B C với A ( 1 ; 1 ; 1 ) , B ( 2 ; 3 ; 0 ) . Biết rằng tam giác A B C có trực tâm H ( 0 ; 3 ; 2 ) tìm tọa độ của điểm C .

8/22

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác \(ABC\) với \(A\left( {1;1;1} \right)\), \(B\left( {2;3;0} \right)\). Biết rằng tam giác \(ABC\) có trực tâm \(H\left( {0;3;2} \right)\) tìm tọa độ của điểm\(C\).

\(C\left( {3;2;3} \right)\).

\(C\left( {4;2;4} \right)\).

\(C\left( {2;2;2} \right)\).

\(C\left( {1;2;1} \right)\).

Giải thích

Chọn D

Gọi \(C\left( {a;b;c} \right)\). Ta có \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} \bot \overrightarrow {BC} \\\overrightarrow {BH} \bot \overrightarrow {AC} \\\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AH} = 0\end{array} \right.\)

\(\overrightarrow {AH} = \left( { - 1;2;1} \right)\), \(\overrightarrow {BH} = \left( { - 2;0;2} \right)\), \(\overrightarrow {AC} = \left( {a - 1;b - 1;c - 1} \right)\), \(\overrightarrow {BC} = \left( {a - 2;b - 3;c} \right)\),

\(\overrightarrow {AB} = \left( {1;2; - 1} \right)\).

\(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {2c + b - 3, - a - c + 2,b - 2a + 1} \right)\).

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l} - a + 2 + 2b - 6 + c = 0\\ - 2a + 2 + 2c - 2 = 0\\ - 2c - b + 3 - 2a - 2c + 4 + b - 2a + 1 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - a + 2b + c = 4\\ - 2a + 2c = 0\\ - 4a - 4c = - 8\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\\c = 1\end{array} \right.\)

Vậy \(C\left( {1;2;1} \right)\).