Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho tam giác

30/150

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho tam giác \[ABC\] với \[A\left( {1\,;\,\,0\,;\,\,0} \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B\left( {3\,;\,\,2\,;\,\,4} \right),{\mkern 1mu} \]\[C\left( {0\,;\,\,5\,;\,\,4} \right).\] Tìm tọa độ điểm \[M\] thuộc mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\] sao cho \[\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} } \right|\] nhỏ nhất.

\[M\left( {1\,;\,\,3\,;\,\,0} \right).\]

\[M\left( {1\,;\,\, - 3\,;\,\,0} \right)\].

\[M\left( {3\,;\,\,1\,;\,\,0} \right)\].

\[M\left( {2\,;\,\,6\,;\,\,0} \right).\]

Giải thích

Ta có \(M \in \left( {Oxy} \right) \Rightarrow M\left( {m\,;\,\,n\,;\,\,0} \right)\)

Khi đó \(\overrightarrow {MA} = \left( {1 - m\,;\,\, - n\,;\,\,0} \right)\); \(\overrightarrow {MB} = \left( {3 - m\,;\,\,2 - n\,;\,\,4} \right)\); \(\overrightarrow {MC} = \left( { - m\,;\,\,5 - n\,;\,\,4} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \left( {4 - 4m\,;\,\,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 12 - 4n\,;\,\,{\mkern 1mu} 12} \right)\)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} } \right| = \sqrt {{{\left( {4 - 4m} \right)}^2} + {{\left( {12 - 4n} \right)}^2} + {{12}^2}} \ge \sqrt {{{12}^2}} = 12\)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4 - 4m = 0}\\{12 - 4n = 0}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 1}\\{n = 3}\end{array}} \right.\).

Vậy \(M\left( {1\,;\,\,3\,;\,\,0} \right).\)Chọn A.