Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz,\] cho mặt cầu \[\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {x^2} - 2x - 2y - 2z = 0\] và điểm

32/150

Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz,\] cho mặt cầu \[\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {x^2} - 2x - 2y - 2z = 0\] và điểm \(A\left( {2\,;\,\,2\,;\,\,0} \right).\) Biết điểm \(B\) thuộc mặt cầu \[\left( S \right)\], có hoành độ dương và tam giác \[OAB\] đều. Phương trình mặt phẳng \(\left( {OAB} \right)\) là

\(x - y - 2z = 0.\)

\(x - y - z = 0.\)

\(x - y + z = 0.\)

\(x - y + 2z = 0.\)

Giải thích

Mặt cầu \[\left( S \right)\] có tâm \(I\left( {1\,;\,\,1\,;\,\,1} \right)\), bán kính \(R = \sqrt 3 .\)

Ta có\(O,\,\,A \in \left( S \right)\); \(OA = 2\sqrt 2 \Rightarrow {R_{OAB}} = \frac{{OA\sqrt 3 }}{3} = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}.\)

Gọi \(H\) là tâm tam giác đều \[OAB\].

Do \(O,\,\,A,\,\,B \in \left( S \right) \Rightarrow IH = d\left( {I,\,\,\left( {OAB} \right)} \right) = \sqrt {{R^2} - R_{OAB}^2} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

Giả sử \(\left( {OAB} \right):ax + by + cz = 0\) do

\(A \in \left( {OAB} \right) \Rightarrow 2a + 2b = 0 \Leftrightarrow a = - b \Rightarrow \left( {OAB} \right):ax - ay + cz = 0.\)

Ta có \(d\left( {I,\,\,\left( {OAB} \right)} \right) = \frac{{\left| c \right|}}{{\sqrt {2{a^2} + {c^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow {a^2} = {c^2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = c}\\{a = - c}\end{array}} \right.\) .

•Với \(a = c\) chọn\(a = 1\,,\,\,c = 1 \Rightarrow (P):x - y + z = 0 \Rightarrow B\left( { - 2\,;\,\,2\,;\,\,4} \right)\) (loại).

•Với \(a = - c\) chọn\(a = 1\,,\,\,c = - 1 \Rightarrow (P):x - y - z = 0 \Rightarrow B\left( {2\,;\,\, - 2\,;\,\,4} \right)\).

Chọn B.