Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

47/50

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S:x−12+y2+z−22=9 ngoại tiếp khối bát diện (H) được ghép từ hai khối chóp tứ giác đều S.ABCD và S’.ABCD (đều có đáy là tứ giác ABCD). Biết rằng đường tròn ngoại tiếp của tứ giác ABCD là giao tuyến của mặt cầu (S) và mặt phẳng P:2x+2y−z−8=0. Tính thể tích khối bát diện (H)

VH=349.

VH=66581.

VH=689.

VH=133081.

Giải thích

Đáp án C

Mặt cầu (S) có tâm I1;0;2 , bán kính R=3. Nhận xét thấy S, I, S’ thẳng hàng và SS'⊥ABCD . Khi đó SS'=2R=6 . Ta có:

VH=VS.ABCD+VS'.ABCD=13dS;ABCD.SABCD+13dS';ABCD.SABCD

=13dS;ABCD+dS';ABCD.SABCD=13SS'.SABCD=2SABCD

Từ giả thiết suy ra ABCD là hình vuông, gọi a là cạnh hình vuông đó.

Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng r và ngoại tiếp hình vuông ABCD.

Suy ra 2r=AC=a2⇒r=a22 . Từ dI;P2+r2=R2 .

⇔r=R2−dI;P2=32−832=173=a22⇔a=21732

Vậy VH=2SABCD=2a2=2.217322=689 .