Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình thang ABCD có hai đáy AB , CD ; có tọa độ ba đỉnh A ( 1 ; 2 ; 1 ) , B ( 2 ; 0 ; − 1 ) , C ( 6 ; 1 ; 0 ) .

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1; - 2; - 2} \right)\), \(\overrightarrow {DC}  = \left( {6 - a;1 - b; - c} \right)\), \(\overrightarrow {AC}  = \left( {5; - 1; - 1} \right)\)

Vì \(ABCD\) là hình thang nên \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {DC} \) cùng hướng \( \Leftrightarrow \exists k > 0:\overrightarrow {DC}  = k\overrightarrow {AB} \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6 - a = k\\1 - b =  - 2k\\ - c =  - 2k\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 6 - k\\b = 1 + 2k\\c = 2k\end{array} \right. \Rightarrow D\left( {6 - k;1 + 2k;2k} \right)\)

\(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {0; - 9;9} \right) \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}.\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = \frac{1}{2}.\sqrt {{{\left( { - 9} \right)}^2} + {9^2}}  = \frac{{9\sqrt 2 }}{2}\).

\(\overrightarrow {AD}  = \left( {5 - k;2k - 1;2k - 1} \right)\),

\[\left[ {\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {0;9k; - 9k} \right) \Rightarrow {S_{\Delta ADC}} = \frac{1}{2}.\left| {\left[ {\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = \frac{1}{2}.\sqrt {{{\left( {9k} \right)}^2} + {{\left( { - 9k} \right)}^2}}  = \frac{{9k\sqrt 2 }}{2}\]

 Suy ra \({S_{ABCD}} = {S_{\Delta ABC}} + {S_{\Delta ADC}} = \frac{{9\sqrt 2 }}{2}\left( {1 + k} \right) = 6\sqrt 2  \Leftrightarrow 1 + k = \frac{4}{3} \Rightarrow k = \frac{1}{3}\).

Vậy \(D\left( {\frac{{17}}{3};\frac{5}{3};\frac{2}{3}} \right) \Rightarrow a + b + c = \frac{{17 + 5 + 2}}{3} = 8\).