Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng OBC.O'B'C' với O(0; 0; 0), B(2a; 0; 0), C(0; a; 0), O'(0; 0; 3a), a > 0

26/42

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng \(OBC.{O^\prime }{B^\prime }{C^\prime }\) với \(O(0;0;0)\), \(B(2a;0;0),C(0;a;0),{O^\prime }(0;0;3a),a > 0\).

a) Xác định tọa độ của điểm \({B^\prime }\).

b) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( {{O^\prime }BC} \right)\).

c) Tính sin của góc giữa đường thẳng \({B^\prime }C\) và mặt phẳng \(\left( {{O^\prime }BC} \right.\) ).

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng OBC.O'B'C' với O(0; 0; 0), B(2a; 0; 0), C(0; a; 0), O'(0; 0; 3a), a > 0 (ảnh 1)

a) Ta có: \(\overrightarrow {B{B^\prime }} = \overrightarrow {O{O^\prime }} = (0;0;3a)\). Suy ra \({x_{{B^\prime }}} = {x_B} = 2a\), \({y_{{B^\prime }}} = {y_B} = 0,{z_{{B^\prime }}} - 0 = 3a\), tức là \({B^\prime }(2a;0;3a)\).

b) Vì \(B(2a;0;0),C(0;a;0),{O^\prime }(0;0;3a)\) nên mặt phẳng \(\left( {{O^\prime }BC} \right)\) có phương trình là

\(\frac{x}{{2a}} + \frac{y}{a} + \frac{z}{{3a}} = 1 \Leftrightarrow 3x + 6y + 2z - 6a = 0.\)

c) Mặt phẳng \(\left( {{O^\prime }BC} \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (3;6;2)\).

Do \({B^\prime }(2a;0;3a),C(0;a;0)\) nên \(\overrightarrow {{B^\prime }C} = ( - 2a;a; - 3a)\), suy ra vectơ \(\overrightarrow {{B^\prime }C} = ( - 2a;a; - 3a)\) cùng phương với vectơ \(\vec u = ( - 2;1; - 3)\). Vì thế vectơ \(\vec u = ( - 2;1; - 3)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \({B^\prime }C\). Suy ra sin của góc giữa đường thẳng \({B^\prime }C\) và mặt phẳng \(\left( {{O^\prime }BC} \right)\) bằng:

\(\frac{{|3 \cdot ( - 2) + 6 \cdot 1 + 2 \cdot ( - 3)|}}{{\sqrt {{3^2} + {6^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{{( - 2)}^2} + {1^2} + {{( - 3)}^2}} }} = \frac{6}{{7\sqrt {14} }} = \frac{{3\sqrt {14} }}{{49}}{\rm{. }}\)