Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có A(0;0;0),B(3;0;0),D(0;3;0),D′(0;3;−3). Tìm tọa độ các đỉnh C và A′ của hình hộp?

Ta có \[\overrightarrow {AB}  = \left( {3;\,\,0;\,\,0} \right)\], \(\overrightarrow {AD}  = \left( {0;\,\,3;\,\,0} \right)\)

Gọi \(C\left( {{x_1};\,{y_1};\,\,{z_1}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {DC}  = \left( {{x_1};\,\,{y_1} - 3;\,\,{z_1}} \right)\)

Vì \(ABCD\) là hình bình hành \[ \Rightarrow \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {AB}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 3\\{y_1} - 3 = 0\\{z_1} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 3\\{y_1} = 3\\{z_1} = 0\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {3;\,\,3;\,\,0} \right)\].

Gọi \(A'\left( {{x_2};\,\,{y_2};\,\,{z_2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {A'D'}  = \left( { - {x_2};\,\,3 - {y_2};\,\, - 3 - {z_2}} \right)\)

Vì \(ADD'A'\) là hình bình hành \( \Rightarrow \overrightarrow {A'D'}  = \overrightarrow {AD}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {x_2} = 0\\3 - {y_2} = 3\\ - 3 - {z_2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = 0\\{y_2} = 0\\{z_2} =  - 3\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( {0;\,\,0;\, - 3} \right)\).