Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có A ( 0 ; 0 ; 0 ) , B ( 3 ; 0 ; 0 ) , D ( 0 ; 3 ; 0 ) , D ′ ( 0 ; 3 ; − 3 ) . Tìm toạ độ trọng tâm tam giác A ′B ′C .

Ta có \[\overrightarrow {AB} = \left( {3;\,\,0;\,\,0} \right)\]. Gọi \(C\left( {x;\,y;\,\,z} \right) \Rightarrow \overrightarrow {DC} = \left( {x;\,\,y - 3;\,\,z} \right)\).

\(ABCD\) là hình bình hành \[ \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Rightarrow \left( {x;\,\,y - 3;\,\,z} \right) = \left( {3;\,\,0;\,\,0} \right) \Rightarrow C\left( {3;\,\,3;\,\,0} \right)\]

Ta có \(\overrightarrow {AD} = \left( {0;\,\,3;\,\,0} \right)\). Gọi \(A'\left( {x';\,\,y';\,\,z'} \right) \Rightarrow \overrightarrow {A'D'} = \left( { - x';\,\,3 - y';\,\, - 3 - z'} \right)\)

\(ADD'A'\) là hình bình hành \( \Rightarrow \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {A'D'} \Rightarrow \left( {x';\,\,y';\,\,z'} \right) = \left( {0;\,\,0;\,\, - 3} \right) \Rightarrow A'\left( {0;\,\,0;\, - 3} \right)\).

Gọi \(B'\left( {{x_0};\,\,{y_0};\,\,{z_0}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {A'B'} = \left( {{x_0};\,\,{y_0};\,\,{z_0} + 3} \right)\)

\(ABB'A'\) là hình bình hành \( \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {A'B'} \Rightarrow \left( {{x_0};\,\,{y_0};\,\,{z_0}} \right) = \left( {3;\,\,0;\, - 3} \right) \Rightarrow B'\left( {3;\,\,0;\, - 3} \right)\)

\(G\) là trọng tâm tam giác \(A'B'C\) \[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{0 + 3 + 3}}{3} = 2\\{y_G} = \frac{{0 + 0 + 3}}{3} = 1\\{z_G} = \frac{{ - 3 - 3 + 0}}{3} = - 2\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {2;\,\,1;\,\, - 2} \right)\].