Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật và các điểm
23/23
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật và các điểm \(A(0;0;0),B(a;0;0)\), \(D(0;b;0),S(0;0;c)\) với a, b, c là các số dương (Hinh vẽ ).
a) Tìm toạ độ của điểm \(C\), trung điểm \(M\) của BC, trọng tâm \(G\) của tam giác SCD.
b) Lâp phương trình mặt phẳng (SBD).
c) Tính khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng (SBD).
a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (a;0;0)\) và \(\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AB} \), suy ra \(\overrightarrow {DC} = (a;0;0)\). Mà \(D(0;b;0)\) nên \(C(a;b;0)\).
Vì \(B(a;0;0),C(a;b;0)\) nên trung điểm \(M\) của BC có toạ độ là \(\left( {a;\frac{b}{2};0} \right)\). Vì \(S(0;0;c),C(a;b;0),D(0;b;0)\) nên trọng tâm \(G\) của tam giác SCD có toạ độ là \(\left( {\frac{a}{3};\frac{{2b}}{3};\frac{c}{3}} \right)\).
b) Phương trình mặt phẳng \((SBD)\) là: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 \Leftrightarrow \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} - 1 = 0\).
c) Khoảng cách từ điểm \(G\) đến mặt phẳng \((SBD)\) là: \(\frac{{\left| {\frac{{\frac{a}{3}}}{a} + \frac{{\frac{{2b}}{3}}}{b} + \frac{{\frac{c}{3}}}{c} - 1} \right|}}{{\sqrt {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} }} = \frac{{abc}}{{3\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} }}.\)