Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình bình

a) S,b) Đ,c) Đ,d) S.

Hướng dẫn giải

– Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {3 - 1;0 - 3;3 - \left( { - 1} \right)} \right) = \left( {2; - 3;4} \right)\). Do đó, ý a) sai.

– Gọi tọa độ của điểm \(D\) là \(\left( {{x_D};\,{y_D};{z_D}} \right)\), ta có tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {CD} \) là:

\(\left( {{x_D} - 2;{y_D} - 3;{z_D} - 6} \right)\).

Do đó, ý b) đúng.

– Ta có \(\overrightarrow {DC}  = \left( {2 - {x_D};3 - {y_D};6 - {z_D}} \right)\). Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {AB} \).

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}2 - {x_D} = 2\\3 - {y_D} =  - 3\\6 - {z_D} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 0\\{y_D} = 6\\{z_D} = 2\end{array} \right.\). Vậy \(D\left( {0;6;2} \right)\). Do đó, ý c) đúng.

– Gọi \(O\) là tâm của hình bình hành \(ABCD\). Khi đó, \(O\) là trung điểm của \(AC\).

Suy ra \(\overrightarrow {AO}  = \overrightarrow {OC} \).

Gọi tọa độ của \(O\) là \(\left( {x;y;z} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {AO}  = \left( {x - 1;y - 3;z + 1} \right)\), \(\overrightarrow {OC}  = \left( {2 - x;3 - y;6 - z} \right)\).

Khi đó, \(\overrightarrow {AO}  = \overrightarrow {OC} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 2 - x\\y - 3 = 3 - y\\z + 1 = 6 - z\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{3}{2}\\y = 3\\x = \frac{5}{2}\end{array} \right.\). Suy ra \(O\left( {\frac{3}{2};3;\frac{5}{2}} \right)\).

Do đó, ý d) sai.