Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(2;2;0), B(2;0; - 2) và điểm M(a;b;c) với a,b,c là các số thực thay đổi tho

Từ giả thiết, điểm \(M\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - z - 1 = 0\).

Có \(MA = MB\), suy ra \(M\) thuộc mặt phẳng trung trực của đường thẳng \(AB\) là \(\left( Q \right):y + z = 0\).

Suy ra \(M\) thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3t\\y = t\\z = - t\end{array} \right.\) và \(\left( Q \right)\).

Ta tìm được đó là đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3t\\y = t\\z = - t\end{array} \right.\).

Tham số hóa \(M\left( {1 - 3t;t; - t} \right)\) thì \(\overrightarrow {AM} = \left( { - 1 - 3t;t - 2; - t} \right);\overrightarrow {BM} = \left( { - 1 - 3t;t; - t + 2} \right)\).

Suy ra \(\cos \widehat {AMB} = \frac{{\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} }}{{MA \cdot MB}} = \frac{{{{\left( {1 + 3t} \right)}^2} + t\left( {t - 2} \right) \cdot 2}}{{{{\left( {1 + 3t} \right)}^2} + {{\left( {t - 2} \right)}^2} + {t^2}}} = \frac{{11{t^2} + 2t + 1}}{{11{t^2} + 2t + 5}} = f\left( t \right)\).

Để góc \(AMB\) lớn nhất thì ta cần \[\cos AMB = f\left( t \right)\] nhỏ nhất.

Khảo sát hàm \(f\left( t \right)\) ta được \(f\left( t \right)\)nhỏ nhất khi và chỉ khi \(t = - \frac{1}{{11}}\).

Suy ra \(M\left( {\frac{{14}}{{11}}; - \frac{1}{{11}};\frac{1}{{11}}} \right)\). Vậy \(S = 15\).

Đáp án: 15