Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( 2 ; 1 ; 1 ) và B ( − 1 ; 2 ; 1 ) . Tọa độ điểm A ′ ( a ; b ; c ) là điểm đối xứng với A qua B . Tìm a + b + c .

Vì \[A'\left( {a\,;\,b\,;\,c} \right)\] là điểm đối xứng với \(A\) qua \(B\) nên \(B\) là trung điểm của \[AA'\]\( \Rightarrow \)\[\overrightarrow {AB\,} = \overrightarrow {BA'\,} \]
Ta có
\(\overrightarrow {AB\,} = \left( { - 3\,;\,1\,;\,0} \right)\), \[\overrightarrow {BA'\,} = \left( {a + 1\,;\,b - 2\,;\,c - 1} \right)\]
Do đó \[\overrightarrow {AB\,} = \overrightarrow {BA'\,} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 1 = - 3\\b - 2 = 1\\c - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 4\\b = 3\\c = 1\end{array} \right.\]
Vậy \(A'\left( { - 4;3;1} \right) \Rightarrow a + b + c = - 4 + 3 + 1 = 0\).