Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng

22/22

Trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 0\\z = 4\end{array} \right.\) và điểm \(A\left( {0;6;4} \right)\). Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng thay đổi luôn chứa đường thẳng \(d\). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(A\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\). Tính khoảng cách lớn nhất từ gốc toạ độ \(O\) đến điểm \(H\).

Giải thích

Đáp án: 8.

Ta có đường thẳng \(d\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) tại điểm \(M\left( {0;0;4} \right)\) Þ \(\left( P \right) \bot \left( {Oyz} \right)\)

Gọi \(\Delta = \left( P \right) \cap \left( {Oyz} \right)\) Þ \(M \in \Delta \).

Ta có \(A\left( {0;6;4} \right) \in mp\left( {Oyz} \right)\) và \(AH \bot \left( P \right)\) tại \(H\) Þ \(H \in \Delta \)

Þ \(H\) nằm trên đường tròn đường kính \(MA\) trong mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\).

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (ảnh 1)

Ta có bán kính đường tròn \(R = \frac{{AM}}{2} = 3\).

Gọi \(I\) là tâm đường tròn Þ \(I\) là trung điểm \(MA\) Þ \(I\left( {0;3;4} \right)\) Þ \(OI = 5\)

Þ \(\max OH = OI + R = 5 + 3 = 8\).