Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d: x+1/2 = y+1/-2 = z/1

31/150

Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz,\] cho đường thẳng \(d:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 2}} = \frac{z}{1}\) và mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 2z - 3 = 0.\) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với \(d,\,\,\left( P \right)\) tiếp xúc với \(\left( S \right)\) đồng thời \(\left( P \right)\) cắt trục \[Oz\] tại điểm có cao độ dương.

\(2x - 2y + z + 2 = 0.\)

\(2x - 2y + z - 16 = 0.\)

\(2x - 2y + z - 10 = 0.\)

\(2x - 2y + z - 5 = 0.\)

Giải thích

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1\,;\,\, - 2\,;\,\,1} \right)\), bán kính \(R = 3.\)

Đường thẳng \(d\) có \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2\,;\,\, - 2\,;\,\,1} \right),\,\,M\left( { - 1\,;\,\, - 1\,;\,\,0} \right) \in d\).

Do \(\left( P \right)\) vuông góc với \(d\) nên \(\overrightarrow {{n_p}} = \overrightarrow {{u_d}} = \left( {2\,;\,\, - 2\,;\,\,1} \right) \Rightarrow \left( P \right):2x - 2y + z + m = 0.\)

Do \(\left( P \right)\) tiếp xúc với \(\left( S \right)\) nên \(d\left( {I\,;\,\,\left( P \right)} \right) = 3 \Leftrightarrow \frac{{\left| {m + 7} \right|}}{3} = 3 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 2}\\{m = - 16}\end{array}} \right.\).

Do \(\left( P \right)\) cắt Oz tại điểm có cao độ dương nên chọn \(m = - 16 \Rightarrow \left( P \right):2x - 2y + z - 16 = 0.\)

Chọn B.