a)

Đ

b)

Đ

c)

Đ

d)

Đ

(a) Đúng: Khi \(m = 1\) đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị

(b) Đúng: Khi \(m = 1:y = \frac{{ - {x^2} + 2x - 3}}{{x - 1}} = - x + 1 - \frac{2}{{x - 1}}\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\);

\(y' = \frac{{ - {x^2} + 2x + 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow - {x^2} + 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 - \sqrt 2 \Rightarrow y = 2\sqrt 2 }\\{x = 1 + \sqrt 2 \Rightarrow y = - 2\sqrt 2 }\end{array}} \right.\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1 \pm } y = \pm \infty :x = 1\)là tiệm cận đứng; \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm x} y = - x + 1:y = - x + 1\) là tiệm cận xiên

Bảng biến thiên:

$Cho hàm số \(y = \frac{{ - m{x^2} + \left( {4\;m - 2} \r (ảnh 1)$

\(x = 0 \Rightarrow y = 3\); \(y = 0 \Rightarrow - {x^2} + 2x - 3 = 0\) (vô nghiệm) nên đồ thị hàm số không cắt trục \(Ox\)

(c) Đúng: \(y = \frac{{ - m{x^2} + \left( {4m - 2} \right)x + 1 - 4m}}{{x - 1}} \Rightarrow y' = \frac{{ - m{x^2} + 2mx - 4m + 2 - 1 + 4m}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

Suy ra \(y' = \frac{{ - m{x^2} + 2mx + 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\). Dấu \(y'\) là dấu của tam thức \(g\left( x \right) = - m{x^2} + 2mx + 1\)

\(g\left( x \right){\rm{ c\'o }}\Delta ' = {m^2} + m\,;\,\,g\left( 1 \right) = - m + 2m + 1 = m + 1\)

Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\Delta ' > 0}\\{m + 1 \ne 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < - 1}\\{m > 0}\end{array}} \right.} \right.\)

Lúc này hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại \(x = {x_1},x = {x_2}\) và \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 2}\\{{x_1} \cdot {x_2} = - \frac{1}{m}}\end{array}} \right.\).

Giả sử \({x_1} < {x_2}\)

Theo yêu cầu bài toán: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} > 0}\\{{x_2} > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} > 0}\\{{x_1} \cdot {x_2} > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2 > 0{\rm{ (lu\^o n d\'u ng) }}}\\{ - \frac{1}{m} > 0}\end{array} \Leftrightarrow m < 0} \right.} \right.} \right.\)

Giao với điều kiện \(\Delta ' > 0\) được \(m < - 1\)

(d) Đúng: \({y'_x} = \frac{{ - {x^2} + 2x + 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\). Đường thẳng \(x - y = 0\) có hệ số góc \(k = 1\)

Để tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) song song với đường thẳng \(y = x\) cần và đủ là \({y'_x} = 1\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne 1}\\{\frac{{ - {x^2} + 2x + 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne 1}\\{ - {x^2} + 2x + 1 = {x^2} - 2x + 1}\end{array}} \right.} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne 1}\\{2{x^2} - 4x = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0 \Rightarrow y = 3}\\{x = 2 \Rightarrow y = - 3}\end{array}} \right.} \right.\)

Có hai tiếp tuyến thỏa yêu cầu bài toán:

\(\left( {{T_1}} \right):y = 1\left( {x - 0} \right) + 3 \Leftrightarrow y = x + 3\,;\,\,\left( {{T_2}} \right):y = 1\left( {x - 2} \right) - 3 \Leftrightarrow y = x - 5\)

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M ( 2 ; − 1 ; 5 ) , toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm M lên trục O y là