Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (2; - 1;0) và hai mặt phẳng alpha: x + y + z - 1 = 0, beta: 2x - y + z - 4 = 0

1. Sai. Thay toạ độ điểm \(M\) và phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) ta được \(2 - 1 + 0 - 1 = 0\) suy ra điểm \(M\) thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).

2. Đúng. Mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {2; - 1;1} \right)\).

3. Sai. Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;1;1} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2; - 1;1} \right)\].

Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) bằng \[\frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\]\( = \frac{{\left| {2 - 1 + 1} \right|}}{{\sqrt {1 + 1 + 1} \cdot \sqrt {4 + 1 + 1} }} = \frac{2}{{3\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{3}\).

4. Đúng. Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;1;1} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2; - 1;1} \right)\].

Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua \(M\) và vuông góc với hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) suy ra \(\left( P \right)\) nhận \(\overrightarrow {{n_1}} ,\,\overrightarrow {{n_2}} \) làm cặp vectơ chỉ phương nên \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \left( {2;1; - 3} \right)\).

\(\left( P \right)\) đi qua \(M\) nên \(\left( P \right):2x + y - 3z - 3 = 0\).