Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A , B , C có tọa độ thỏa mãn −−→ OA = → i + → j + → k , −−→ OB = 5 → i + → j − → k , −−→ BC = 2 → i + 8 → j + 3 → k . Tọa độ điểm D để

12/22

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm \(A\),\(B\),\(\,C\) có tọa độ thỏa mãn \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow i + \overrightarrow j + \overrightarrow k \), \(\overrightarrow {OB} = 5\overrightarrow i + \overrightarrow j - \overrightarrow k \), \(\overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow i + 8\overrightarrow j + 3\overrightarrow k \). Tọa độ điểm \(D\) để tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành là

\(D\left( {3\,;\,1\,;\,5} \right)\).

\(D\left( {1\,;\,2\,;\,3} \right)\).

\(D\left( {3\,;\,9\,;\,4} \right)\).

\(D\left( { - 2\,;\,8\,;\,6} \right)\).

Giải thích

Chọn C

Ta có: \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow i + \overrightarrow j + \overrightarrow k \Rightarrow A\left( {1\,;\,1\,;\,1} \right)\).

\(\overrightarrow {OB} = 5\overrightarrow i + \overrightarrow j - \overrightarrow k \Rightarrow B\left( {5\,;\,1\,;\, - 1} \right)\).

\(\overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow i + 8\overrightarrow j + 3\overrightarrow k \Rightarrow \overrightarrow {BC} = \left( {2\,;\,8\,;\,3} \right)\).

\(\overrightarrow {AD} = \left( {{x_D} - 1\,;\,{y_D} - 1\,;\,{z_D} - 1} \right)\).

Để \(ABCD\) là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \)\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_D} - 1 = 2}\\{{y_D} - 1 = 8}\\{{z_D} - 1 = 3}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_D} = 3}\\{{y_D} = 9}\\{{z_D} = 4}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow D\left( {3\,;\,9\,;\,4} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {AD} = \left( {2\,;\,8\,;\,3} \right)\), \(\overrightarrow {AB} = \left( {4\,;\,0\,;\, - 2} \right)\).

Do đó \(\overrightarrow {AD} \), \(\overrightarrow {AB} \) không cùng phương nên \(A\), \(B\), \(D\) không thẳng hàng.

Vậy điểm \(D\left( {3\,;\,9\,;\,4} \right)\) là điểm cần tìm.