Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A ( 1 ; − 1 ; 2 ) , B ( 2 ; 1 ; 0 ) , C ( − 1 ; 1 ; 1 ) , D ( 2 ; 3 ; 1 ) . Gọi ( L ) là tập hợp tất cả các điểm M trong không gian th

32/50

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho bốn điểm \(A\left( {1; - 1;2} \right),B\left( {2;1;0} \right)\),\(C\left( { - 1;1;1} \right),D\left( {2;3;1} \right)\). Gọi \(\left( L \right)\) là tập hợp tất cả các điểm \(M\) trong không gian thỏa mãn đẳng thức \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2} = 100\). Biết rằng \(\left( L \right)\) là một mặt cầu, mặt cầu đó có bán kính \(R\) bằng bao nhiêu?

\(R = 10\).

\(R = \sqrt {21} \).

\(R = 3\).

\(R = \sqrt {13} \).

Giải thích

Giả sử \(M\left( {x;y;z} \right)\). Khi đó:

\(M{A^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2},M{B^2} = {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2}\),

\(M{C^2} = {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2},M{D^2} = {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2}\).

Ta có \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2} = 100 \Leftrightarrow 4{x^2} + 4{y^2} + 4{z^2} - 8x - 8y - 8z + 28 = 100\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 21 \Rightarrow MI = \sqrt {21} \), với \(I\left( {1;1;1} \right)\).

Vậy tập hợp tất cả các điểm \(M\) thỏa mãn đẳng thức đã cho là mặt cầu tâm \(I\left( {1;1;1} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {21} \). Chọn B.