Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;2;−1),B(2;−1;3),C(−4;7;5). Gọi D là chân đường phân giác trong góc B của tam giác ABC. Tính độ dài đoạn thẳng BD (làm tròn kết quả đến hàn

40/40

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {1;2; - 1} \right),B\left( {2; - 1;3} \right),C\left( { - 4;7;5} \right)\). Gọi \(D\) là chân đường phân giác trong góc \(B\)của tam giác \(ABC\). Tính độ dài đoạn thẳng \(BD\) (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Đáp án: _____

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Ta có \(BA = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} = \sqrt {26} \), \(CB = \sqrt {{6^2} + {{\left( { - 8} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = 2\sqrt {26} \).

Gọi \(D\left( {a;b;c} \right)\) là chân đường vuông góc trong góc \(B\).

Khi đó \(\frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{BA}}{{BC}} = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow DC = 2DA \Leftrightarrow \overrightarrow {DC} = - 2\overrightarrow {DA} \).

Ta có \(\overrightarrow {DC} = \left( { - 4 - a;7 - b;5 - c} \right),\overrightarrow {DA} = \left( {1 - a;2 - b; - 1 - c} \right)\).

Vì \(\overrightarrow {DC} = - 2\overrightarrow {DA} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 - a = - 2\left( {1 - a} \right)\\7 - b = - 2\left( {2 - b} \right)\\5 - c = - 2\left( { - 1 - c} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{2}{3}\\b = \frac{{11}}{3}\\c = 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow D\left( { - \frac{2}{3};\frac{{11}}{3};1} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {BD} = \left( { - \frac{8}{3};\frac{{14}}{3}; - 2} \right)\). Vậy \(BD = \sqrt {{{\left( { - \frac{8}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{14}}{3}} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} \approx 5,73\).

Đáp án cần nhập là: 5,73.