Trong không gian với hệ tọa độ oxyz cho A(-3;1;1), B(1;-1;5)

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {4\,;\,\, - 2\,;\,\,4} \right)\) và mặt phẳng \((P)\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {2\,;\,\, - 1\,;\,\,2} \right).\) Do đó \(AB \bot (P).\)

Giả sử mặt cầu \((S)\) có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0.\)

Mặt cầu \((S)\) đi qua hai điểm A, B nên ta có

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{9 + 1 + 1 + 6a - 2b - 2c + d = 0}\\{1 + 1 + 25 - 2a + 2b - 10c + d = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{6a - 2b - 2c + d =  - 11}\\{2a - 2b + 10c - d = 27}\end{array}} \right.} \right.\).

Suy ra \(8a - 4b + 8c = 16 \Leftrightarrow 2a - b + 2c = 4.\)

Mặt cầu \((S)\) tiếp xúc với \((P)\) nên ta có

 \(d\left( {I,\,\,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2a - b + 2c + 11} \right|}}{3} = 5.\)

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {4\,;\,\, - 2\,;\,\,4} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{4^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {4^2}}  = 6.\)

Gọi \(M\) là trung điểm của \[AB\] ta có

\(d\left( {C\,,\,\,AB} \right) = IM = \sqrt {{5^2} - {3^2}}  = 4.\)

Vậy \(C\) luôn thuộc một đường tròn \(\left( T \right)\) cố định có bán kính \(r = 4.\)

Đáp án: 4.