Trong không gian với hệ tọa độ cho đường thẳng và mặt phẳng Đường thẳng đi qua , cắt và song song với mặt phẳng có phương trình là phương trình nào dưới đây?

45/50

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:x−31=y−33=z2 và mặt phẳng P:x+y−z+3=0. Đường thẳng Δ đi qua A1;2;−1, cắt d và song song với mặt phẳng P có phương trình là phương trình nào dưới đây?

x−11=y−22=z+11.

x−11=y+22=z+1−1.

x−1−1=y−2−2=z+11.

x−11=y−2−2=z+1−1.

Giải thích

* Cách 1: Gọi B=d∩Δ⇒B∈dB∈Δ⇒B3+t;3+3t;2tAB→=2+t;1+3t;2t+1 là véc-tơ chỉ phương của Δ.

Mặt phẳng P có véc-tơ pháp tuyến là nP→=1;1;−1.

Vì Δ//P nên nP→.AB→=0⇔2+t+1+3t−2t−1=0⇔2t=−2⇔t=−1.

Vậy đường thẳng Δ đi qua A1;2;−1 và nhận véc-tơ chỉ phương AB→=1;−2;−1 có phương trình là x−11=y−2−2=z+1−1.

* Cách 2: Gọi β là mặt phẳng qua A1;2;−1 và song song với α nên có phương trình x+y−z−4=0.

Gọi β=d∩β. Khi đó, tọa độ x,y,z của B là nghiệm của hệ phương trình

x−31=y−33=z2x+y−z−4=0⇔3x−y=62x−z=6x+y−z−4=0⇔x=2y=0z=−2.

Suy ra B2;0;−2 và đường thẳng Δ:x−11=y−2−2=z+1−1.

Chọn đáp án D.