Trong không gian tọa độ Oxyz cho S ( 1 ; 2 ; 3 ) và các điểm A , B , C thuộc các trục Ox , Oy , Oz sao cho hình chóp S. ABC có các cạnh SA , SB , SC đôi một vuông góc với nhau

16/22

Trong không gian tọa độ \[Oxyz\], cho \(S\left( {1;2;3} \right)\) và các điểm \(A\), \(B\), \(C\) thuộc các trục \(Ox\), \(Oy\), \(Oz\) sao cho hình chóp \(S.ABC\) có các cạnh \(SA\), \(SB\), \(SC\) đôi một vuông góc với nhau.

a) Tam giác \(ABC\) là tam giác vuông.

b) \(\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {SC} = 0\).

c) Tọa độ điểm \(C\) là \(C\left( {0;0;7} \right)\).

d) Thể tích khối chóp \(S.ABC\) bằng \(\frac{{343}}{{36}}\).

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Ta đặt \[A(a;0;0)\],\[B(0;b;0)\],\[C(0;0;c)\].

\[\overrightarrow {SA} = (a - 1; - 2; - 3)\]; \[\overrightarrow {SB} = ( - 1;b - 2; - 3)\]; \[\overrightarrow {SC} = ( - 1; - 2;c - 3)\].

Vì \(SA\), \(SB\), \(SC\) đôi một vuông góc nên

\[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {SA} \bot \overrightarrow {SB} \\\overrightarrow {SB} \bot \overrightarrow {SC} \\\overrightarrow {SA} \bot \overrightarrow {SC} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SB} = 0\\\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {SC} = 0\\\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SC} = 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 2b = 14\\2b + 3c = 14\\a + 3c = 14\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 7\\b = \frac{7}{2}\\c = \frac{7}{3}\end{array} \right.\].

Do \(SA\), \(SB\), \(SC\) đôi một vuông góc, nên: \({V_{SABC}} = \frac{1}{6}SA.SB.SC = \frac{1}{6}.7.\frac{7}{2}.\frac{7}{3} = \frac{{343}}{{36}}\).

a) Sai.

b) Đúng.

c) Sai.

d) Đúng.