Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x^2 + y^2 + z^2 − 6 x + 4 y − 12 = 0 . (a) Mặt cầu (S) có tâm I(3; −2; 0) và bán kính R = 8. (b) Điểm K(1; −2; 0) thuộc mặt cầu (S).

a) \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x + 4y - 12 = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {z^2} = 25\).

Suy ra mặt cầu (S) có tâm I(3; −2; 0) và bán kính R = 5.

b) Thay tọa độ điểm K vào phương trình mặt cầu ta được \({1^2} + {\left( { - 2} \right)^2} + {0^2} - 6.1 + 4.\left( { - 2} \right) - 12 = - 21 \ne 0\).

Do đó điểm K không thuộc mặt cầu (S).

c) Đường kính của mặt cầu là 2R = 2.5 = 10.

d) Ta có \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {3.3 - 4.\left( { - 2} \right) + 5.0 - 17 + 20\sqrt 2 } \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {5^2}} }} = \frac{{20\sqrt 2 }}{{5\sqrt 2 }} = 4\).

Bán kính của đường tròn \(r = \sqrt {{R^2} - {d^2}\left( {I,\left( P \right)} \right)} = \sqrt {{5^2} - {4^2}} = 3\).

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.