Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 4y - 2z - 3 = 0

1. Sai. Mặt cầu \[\left( S \right)\] có phương trình là: \[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 2z - 3 = 0\].

Suy ra, mặt cầu \[\left( S \right)\] có tâm \[I\left( { - 1;2;1} \right)\] và bán kính \[R = 3\].

2. Đúng. Thay tọa độ điểm \[A\left( {1;3; - 1} \right)\] vào phương trình mặt cầu \[\left( S \right)\] ta có:

\[{1^2} + {3^2} + {\left( { - 1} \right)^2} + 2 \cdot 1 - 4 \cdot 3 - 2 \cdot \left( { - 1} \right) - 3 = 0\]. Vậy, mặt cầu \[\left( S \right)\] đi qua điểm \[A\left( {1;3; - 1} \right)\].

3. Đúng. Khoảng cách từ tâm \[I\left( { - 1;2;1} \right)\] đến mặt phẳng \[\left( P \right):x - 2y + 2z - 6 = 0\] là:

\[d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 1 - 2 \cdot 2 + 2 \cdot 1 - 6} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} }} = 3 = R\].

Suy ra, mặt cầu \[\left( S \right)\] tiếp xúc với mặt phẳng \[\left( P \right):x - 2y + 2z - 6 = 0\].

4. Đúng. Gọi \[H\] là hình chiếu vuông góc của tâm \[I\left( { - 1;2;1} \right)\] trên mặt phẳng \[\left( Q \right):2x + 2y + z + 5 = 0\].

Khi đó, \[d\left( {I,\left( Q \right)} \right) = IH = \frac{{\left| {2 \cdot \left( { - 1} \right) + 2 \cdot 2 + 1 + 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{8}{3}\].

Giả sử, giao tuyến của mặt phẳng \[\left( Q \right):2x + 2y + z + 5 = 0\] và mặt cầu \[\left( S \right)\] là một đường tròn có bán kính bằng \[r\].

Khi đó, \[r = \sqrt {{R^2} - I{H^2}} = \sqrt {{3^2} - {{\left( {\frac{8}{3}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {17} }}{3}\].