Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm

32/235

Trong không gian tọa độ \(Oxyz,\) cho điểm \(A\left( {0;1;0} \right),\) mặt phẳng \(\left( Q \right):x + y - 4z - 6 = 0\) và đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 3 + t\\z = 5 - t\end{array} \right.\). Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) qua \(A\), song song với \(d\) và vuông góc với \(\left( Q \right)\) là:

\(3x + y + z - 1 = 0\).

\(3x - y - z + 1 = 0\).

\(x + 3y + z - 3 = 0\).

\(x + y + z - 1 = 0\).

Giải thích

Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có VTPT \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;1; - 4} \right)\).Đường thẳng \(d\) có VTCP \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {0;1; - 1} \right)\).

Gọi VTPT của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\overrightarrow {{n_P}} \).

Ta có: \(\overrightarrow {{n_P}} \bot \overrightarrow {{n_Q}} \) và \(\overrightarrow {{n_P}} \bot \overrightarrow {{u_d}} \) nên chọn \(\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {{n_Q}} ,\,\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( {3;\,1;\,1} \right)\).

\(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\left( {0;1;0} \right),\) VTPT \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {3;1;1} \right)\) có phương trình là: \(3x + y + z - 1 = 0\). Chọn A.