Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các điểm A ( 1 ; 2 ; − 1 ) , B ( 2 ; 3 ; 4 ) và C ( 3 ; 5 ; − 2 ) . Giả sử tâm I ( m ; n ; p ) là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .

Ta có: \[\overrightarrow {AB}  = \left( {1;1;5} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( {2;3; - 1} \right)\]

\[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 0\] nên tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\].

Suy ra tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là trung điểm \[I\] của \[BC\].

Do đó: \(I\left( {\frac{5}{2};4;1} \right)\) và \[2m + 3n + 4p = 5 + 12 + 4 = 21\].