Trong không gian Oxyz, tọa độ điểm A' là hình chiếu vuông góc của điểm

71/100

Trong không gian Oxyz, tọa độ điểm \(A'\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(A( - 1;4;0)\) lên mặt phẳng \((\alpha ):x - 2y + 4z + 10 = 0\) là

\(A'\left( { - \frac{{86}}{{21}};\frac{{22}}{{21}}; - \frac{4}{{21}}} \right)\).

\(A'( - 22;86; - 4)\).

\(A'\left( {\frac{4}{{21}}; - \frac{{86}}{{21}}; - \frac{{22}}{{21}}} \right)\).

\(A'\left( { - \frac{{22}}{{21}};\frac{{86}}{{21}}; - \frac{4}{{21}}} \right)\).

Giải thích

Bước 1: Viết phương trình tham số đường thắng \(\Delta \) đi qua \(A( - 1;4;0)\) và vuông góc với \((\alpha )\).

Bước 2: Tìm tọa độ \(A'\) là giao điểm của \(\Delta \) và \((\alpha )\).

Lời giải

Ta có \({\vec n_{(\alpha )}} = (1; - 2;4)\).

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua \(A( - 1;4;0)\) và vuông góc với mặt phẳng \((\alpha )\).

Khi đó \(A'\) là giao điểm của \(\Delta \) và \((\alpha )\).

Vì \(\Delta \bot (\alpha )\) nên \(\Delta \) nhận \({\vec n_{(\alpha )}} = (1; - 2;4)\) làm vectơ chỉ phương.

Suy ra phương trình tham số của \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 + t}\\{y = 4 - 2t}\\{z = 4t}\end{array}} \right.\)

Ta có \(A' \in \Delta \Rightarrow \) tọa độ \(A'( - 1 + t;4 - 2t;4t)\).

Lại có \(A' \in (\alpha )\).

\( \Rightarrow - 1 + t - 2(4 - 2t) + 4.4t + 10 = 0\)

\( \Leftrightarrow t = - \frac{1}{{21}}.\)

Suy ra tọa độ \(A'\left( { - \frac{{22}}{{21}};\frac{{86}}{{21}}; - \frac{4}{{21}}} \right)\).

Vậy ta chọn phương án D.