Gọi \({A_k}\) là biến cố An rút được thẻ số \(k\), với \(k \in \left\{ {1,2,3,4,5} \right\}\).

Vì có 5 thẻ được đánh số từ 1 đến 5 và An rút ngẫu nhiên 1 thẻ, nên xác suất An rút được thẻ số \(k\) là \(P\left( {{A_k}} \right) = \frac{1}{5}\) cho mỗi \(k\).

Khi An rút được thẻ số \(k\), Bình sẽ gieo \(k\) con xúc xắc. Mỗi con xúc xắc có 6 mặt (1, 2, 3, 4, 5, 6).
a) Đúng. Xác suất để An chọn được thẻ số 5 là \(P\left( {{A_5}} \right)\).

Theo lập luận trên, \(P\left( {{A_5}} \right) = \frac{1}{5}\).

b) Đúng. Gọi \({S_k}\) là biến cố tổng số chấm trên \(k\) con xúc xắc bằng 8.

Nếu An rút được thẻ số 3, Bình gieo 3 con xúc xắc. Không gian mẫu có \({6^3} = 216\) kết quả đồng khả năng.

Chúng ta cần tìm số cách để tổng số chấm của 3 con xúc xắc là 8.

Gọi \(\left( {{x_1},{x_2},{x_3}} \right)\) là kết quả của 3 con xúc xắc, với \({x_i} \in \left\{ {1,2,3,4,5,6} \right\}\).

Các bộ \(\left( {{x_1},{x_2},{x_3}} \right)\) có tổng bằng 8 là:

(1, 1, 6) và các hoán vị của nó: Có \(\frac{{3!}}{{2!}} = 3\) cách (116, 161, 611).

(1, 2, 5) và các hoán vị của nó: Có \(3! = 6\) cách (125, 152, 215, 251, 512, 521).

(1, 3, 4) và các hoán vị của nó: Có \(3! = 6\) cách (134, 143, 314, 341, 413, 431).

(2, 2, 4) và các hoán vị của nó: Có \(\frac{{3!}}{{2!}} = 3\) cách (224, 242, 422).

(2, 3, 3) và các hoán vị của nó: Có \(\frac{{3!}}{{2!}} = 3\) cách (233, 323, 332).

Tổng số kết quả thuận lợi là \(3 + 6 + 6 + 3 + 3 = 21\).

Xác suất để tổng số chấm bằng 8 khi gieo 3 con xúc xắc là \(P\left( {{S_3}} \right) = \frac{{21}}{{216}} = \frac{7}{{72}}\).

c) Đúng. Gọi \(E\) là biến cố không có mặt 6 chấm nào xuất hiện.

Nếu An rút được thẻ số \(k\), Bình gieo \(k\) con xúc xắc. Xác suất để không có mặt 6 chấm nào xuất hiện trên \(k\) con xúc xắc là \(P\left( {E|{A_k}} \right)\).

Mỗi con xúc xắc có 5 mặt không phải là 6 chấm (1, 2, 3, 4, 5).

Vậy \(P\left( {E|{A_k}} \right) = {\left( {\frac{5}{6}} \right)^k}\).

Xác suất để không có mặt 6 chấm xuất hiện là \(P\left( E \right) = \sum\limits_{k = 1}^5 P \left( {E|{A_k}} \right)P\left( {{A_k}} \right)\).

\(P\left( E \right) = \sum\limits_{k = 1}^5 {{{\left( {\frac{5}{6}} \right)}^k}} \cdot \frac{1}{5}\)\( = \frac{{4651}}{{7776}}\).

d) Đúng. Gọi \(F\) là biến cố có ít nhất một mặt 6 chấm xuất hiện.

Biến cố \(F\) là biến cố đối của biến cố \(E\) (không có mặt 6 chấm nào xuất hiện).

Do đó, \(P\left( F \right) = 1 - P\left( E \right) = 1 - \frac{{23255}}{{38880}} = \frac{{15625}}{{38880}}\).

Chúng ta cần tính xác suất \(P\left( {{A_4}|F} \right)\), tức là xác suất An chọn được thẻ số 4 biết rằng có ít nhất một mặt 6 chấm xuất hiện.

Theo công thức Bayes: \(P\left( {{A_4}|F} \right) = \frac{{P\left( {F|{A_4}} \right)P\left( {{A_4}} \right)}}{{P\left( F \right)}}\).

Ta có \(P\left( {{A_4}} \right) = \frac{1}{5}\).

\(P\left( {F|{A_4}} \right)\) là xác suất có ít nhất một mặt 6 chấm xuất hiện khi An rút thẻ số 4 (Bình gieo 4 con xúc xắc).

\(P\left( {F|{A_4}} \right) = 1 - P\left( {E|{A_4}} \right) = 1 - {\left( {\frac{5}{6}} \right)^4} = \frac{{671}}{{1296}}\).
Thay các giá trị vào công thức Bayes ta được: \(P\left( {{A_4}|F} \right) = \frac{{4026}}{{15625}}\).

Trong không gian Oxyz, tam giác ABC có vectơ AB = (-2; -5; 0), vectơ AC = (2; -2; 0). Độ dài đoạn thẳng BC bằng