Trong không gian Oxyz, sàn của một căn phòng có dạng hình tứ giác với bốn đỉnh O(0;0;0),A(2;0;0),B(2;3;0);
8/15
(H.5.10) Trong không gian Oxyz, sàn của một căn phòng có dạng hình tứ giác với bốn đỉnh \(O(0;0;0),A(2;0;0),B(2;3;0);C(0;2\sqrt 2 ;0)\). Bốn bức tường của căn phòng đều vuông góc với sàn.
a) Viết phương trình bốn mặt phẳng tương ứng chứa bốn bức tường đó.
b) Trong bốn mặt phẳng tương ứng chứa bốn bức tường đó, hãy chỉ ra những cặp mặt phẳng vuông góc với nhau.
a) Ta có \(\overrightarrow {AB} = (0;3;0),\overrightarrow {BC} = ( - 2;2\sqrt 2 - 3;0)\)
Sàn nhà nằm trong mặt phẳng Oxy có một vectơ pháp tuyến là \(\vec k = (0;0;1)\)
Suy ra mặt phẳng \({\rm{Oxy}}:{\rm{z}} = 0\).
Mặt phẳng bức tường \(({\rm{P}})\) chứa 2 điểm \({\rm{O}},{\rm{A}}\) chính là mặt phẳng Oxz : \({\rm{y}} = 0\).
Mặt phẳng bức tường \(({\rm{Q}})\) chứa 2 điểm \({\rm{O}},{\rm{C}}\) chính là mặt phẳng \({\rm{Oyz}}:{\rm{x}} = 0\).
Mặt phẳng bức tường ( a ) chứa 2 điểm \({\rm{A}},{\rm{B}}\) có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = [\overrightarrow {AB} ,\vec k] = (3;0;0)\) có phương trình là: \(3({\rm{x}} - 2) = 0\) hay \({\rm{x}} - 2 = 0\).
Mặt phẳng bức tường \((\beta )\) chứa 2 điểm \({\rm{B}},{\rm{C}}\) có vectơ pháp tuyến
\(\overrightarrow {{n^\prime }} = [\overrightarrow {BC} ,\vec k] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2\sqrt 2 - 3}&0\\0&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 2}\\1&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&{2\sqrt 2 }\\0&0\end{array}} \right|} \right) = (2\sqrt 2 - 3;2;0)\)
có phương trình là: \((2\sqrt 2 - 3)x + 2(y - 2\sqrt 2 ) = 0{\rm{ hay }}(2\sqrt 2 - 3)x + 2y - 4\sqrt 2 = 0\)
b) Có bức tường (P) vuông góc với bức tường (Q).
Bức tường (P) vuông góc với bức tường (α).